Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 111 стр.

     Решим систему графически. Построим графики функций в одной
системе координат. Результат построения представлен на рисунке 12.3.
     Здесь функция наилучшей реакции первого игрока α = α(β )
представлена ломаной EFBKL, а функция наилучшей реакции
второго игрока β = β ( α ) представлена ломаной OABCD. Общие
точки двух графиков соответствуют равновесным ситуациям.
Такая точка одна: C(3/10, 3/8). Она определяет равновесное
решение (x*, y*) ∈ X × Y= [0, 1]2 × [0, 1] 2; где стратегии x* = (3/10,
7/10), y*= (3/8, 5/8). Вычислим выигрыши игроков в равновесной
ситуации f(x*, y*) = (f1(x*, y*), f2(x*, y*)) и выигрыши
                                                         ⎛3 ⎞
   f1 ( x*, y*) = x *T Ay * = ( 3  , 7 ) ⋅ ⎛⎜ − 2 2 ⎞⎟ ⋅ ⎜ 8 ⎟ = 40 = 0,5;
                                 10 10 ⎜⎝ 3 − 1⎟ ⎜ 5 ⎟ 80
                                                     ⎠ ⎝ 8⎠

                                           ⎛ 4 − 3 ⎞ ⎛⎜ 3 8 ⎞⎟    16
  f 2 ( x*, y*) = x *T By * = ( 3 , 7 ) ⋅ ⎜⎜       ⎟⋅          = − = −0,2.
                                 10 10 ⎝ − 2 1 ⎟⎠ ⎜ 5 ⎟           80
                                                      ⎝ 8⎠
        Ответ: x* = (3/10, 7/10), y*= (3/8, 5/8);f(x*, y*) = (0,5, -0,2).



               Задачи для самостоятельного решения

    Задача 12.1. Решить биматричную игру, заданную двумя
матрицами выигрышей первого и второго игроков
                           ⎛ 4 3⎞        ⎛ − 2 − 3⎞
                      A = ⎜⎜    ⎟⎟, B = ⎜⎜        ⎟⎟.
                           ⎝ 5 2⎠        ⎝ − 1 − 2⎠

    Задача 12.2. Решить биматричную игру, заданную двумя
матрицами выигрышей первого и второго игроков




                                                                         111