Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 113 стр.

§13. Существование равновесия по Нэшу
в бескоалиционной игре
     Изучение бескоалиционной игры и равновесия по Нэшу, как
её решения, с неизбежностью выдвигает проблему нахождения
условий существования такого решения. Сложность проблемы
показывает пример из предыдущего параграфа. В
бескоалиционной игре примера 12.2 у каждого игрока две
стратегии и, значит, в игре имеется четыре ситуации. Но ни одна
из них не является равновесием по Нэшу.
     Выход из сложившегося положения, отсутствия в игре
равновесного решения, стандартный в математических
рассуждениях. Если нет решения, то надо расширить условия
задачи (рассмотреть её как подмножество более широкой задачи),
где решение уже будет. В этом и состоит суть смешанного
расширения бескоалиционной игры. Использование при изучении
игр такого расширения вызвано необходимостью существования
равновесия по Нэшу. Далее анализ примера 12.2 проводился в
другой более широкой подстановке. В новых условиях найдено
равновесие по Нэшу, но только в смешанных стратегиях.
     Доказательство        существования      равновесия      в
бескоалиционной игре основано на определении специального
многозначного отображения множества ситуаций в себя. Это
отображение имеет свойства, гарантирующие существование у
него неподвижной точки. Эта неподвижная точка и является
равновесием по Нэшу. В этом плане доказательство сходно с
методом решения биматричной игры из предыдущего параграфа
по нахождению неподвижной точки и определения по ней
равновесия.
     Рассматривается бескоалиционная игра (1.1), в которой
представлено конечное число игроков N = {1,..., n}. Обсудим
основные понятия математики (в первую очередь из
математического анализа), что потребуются для формулировки
и доказательства теоремы существования равновесия.


                                                           113