Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 115 стр.

    Задача оптимизации (и игровая задача) в своей формализации
кроме множества стратегий должна содержать ещё функцию цели.
Это функция с областью определения в некотором евклидовом
пространстве (или на его подмножестве) и значениями –
действительными числами. Часто такая функция предполагается
непрерывной. Функция цели
                        f : Rm → R                        (13.1)

называется непрерывной в точке x0 ∈ R m , если предел функции в
точке равен значению функции в этой точке. Функция в (13.1)
является непрерывной на области определения, если она
непрерывна в каждой точке области определения.
     В терминах компактных множеств и непрерывных функций
можно сформулировать “классическую” задачу математического
программирования (задачу максимизации).
    Задача     (классическая    задача    математического
программирования). Пусть задано компактное множество X в
евклидовом пространстве R m и функция цели f : R m → R
непрерывна. Найти точку x* ∈ X , что доставляет максимум этой
функции на X, т.е.такое x* ∈ X , что f ( x*) ≥ f ( x), ∀x ∈ X .
     Существование      решения      задачи     математического
программирования устанавливает вторая теорема Вейерштрасса (§8).
В задаче (8.1) – (8.3) область допустимых значений является
ограниченной, замкнутой и, значит, компактной. Функция цели в
задаче является линейной и, значит, непрерывной. По второй
теореме Вейерштрасса в такой задаче существует максимальное
значение у функции цели. Учитывая линейные ограничения для
области допустимых значений (8.1) можно показать, что она является
многоугольником и максимум достигается в одной из его вершин.
     Важное место в построении теории имеют функции со
специальными свойствами. Функция f (x) из (13.1) называется
вогнутой на области определения X ⊂ R m , если множество X
выпукло и ∀x ' , x"∈ X , λ ∈ [0,1] выполнено неравенство

                                                              115