Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 114 стр.

     Стратегии игроков будем отождествлять с точками евклидова
векторного пространства, т.е xi ∈ R mi , i ∈ N . Такой подход
соответствует смешанному расширению конечной бескоалиционной
игры. В этом случае стратегии игрока представляются точкам
фундаментального симплекса (5.1, 5.2) в конечномерном евклидовом
пространстве. Будем рассматривать компактные множества
(Определение 7.2.) стратегий X i ⊂ R mi , i ∈ N .
     Так в евклидовом пространстве R1 = R отрезок [a, b] является
ограниченным и замкнутым множеством, значит, компактом;
интервал (a, b) является ограниченным и не замкнутым
множеством. В евклидовом пространстве R множество
положительных действительных чисел является неограниченным
и не замкнутым. Это множество обозначается (0, ∞ ). Отметим,
что множества стратегий в игровых задачах из §1 – 4 являются
конечными. В евклидовом пространстве конечное множество
является компактным. Рассматривая смешанное расширение
конечной игры. Множество смешанных стратегий игрока было
определено, как m - 1 мерный симплекс в m – мерном евклидовом
пространстве и определяется ортами (5.3). Это также компактное
множество.
     Множество стратегий      X i ⊂ R mi в евклидовом пространстве
является выпуклым, если           ∀x ' , x"∈ X , λ ∈ [0,1] выполнено
включение λ ⋅ x'+ λ ⋅ x"∈ X (Определение 7.3). Так отрезок [a, b],
интервал (a, b), бесконечное множество (0, ∞ ) являются
выпуклыми, а множество чистых стратегий в игровых задачах из
§1 - 4 нет.
      Компактное множество (Определение 7.2) является одним
из основных понятий математического анализа. Значение этого
понятия трудно переоценить. Особенно важны компактные
множества для задач оптимизации, к которым относятся и
игровые задачи.



                                                                114