Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 109 стр.

     Последнее равновесие или равновесие в смешанных стратегиях
предлагает супругам выбирать поход на футбол или на балет случайно
и независимо. Тогда, если выбирать любимое проведение вечера с
вероятностью 2/3, то супруги получат в среднем одинаковую
полезность, равную 2/3 единицы. Итак, справедливость достигнута.
Отметим, что от такого решения каждый из супругов получит меньше
пользы, чем в любом другом варианте совместного проведения вечера.
Образно говоря, в данном примере справедливость достигнута за счёт
потери эффективности.
      Пример 12.2. Решить биматричную игру, заданную двумя
матрицами выигрышей первого и второго игроков
                          ⎛− 2 2 ⎞        ⎛ 4 − 3⎞
                     A = ⎜⎜      ⎟⎟, B = ⎜⎜      ⎟⎟.
                          ⎝ 3 − 1⎠        ⎝− 2 1 ⎠
     У игроков в этой игре нет доминируемых стратегий. В этой
игре четыре ситуации в чистых стратегиях, но ни одна не
удовлетворяет определению равновесия по Нэшу. Рассмотрим
смешанное расширение игры Г(A, B). Обозначим множества
стратегий игроков
                     X = {(α , 1 − α ) ∈ R 2 α ∈ [0,1]},               (12.7)

                    Y = {( β , 1 − β ) ∈ R 2 β ∈ [0,1]}.               (12.8)
     Найдём равновесную ситуацию, как неподвижную точку
соответствующего многозначного отображения множества
ситуаций в себя. Определим наилучшую реакцию первого игрока
на действие второго игрока в соответствии с (12.2). Тогда
  α ∈ arg max α∈[0,1]{( Ay )1, ( Ay )2 } == arg max α∈[0,1]{2 − 4β, − 1 + 4β};

                                 ⎧1, β ∈ [0, 3 ),
                                 ⎪             8
                                 ⎪            3
                             α = ⎨[0,1],β =       ,
                                                8
                                 ⎪
                                 ⎪0, β ∈ ( 3 ,1].
                                 ⎩           8



                                                                            109