Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 118 стр.

Но широкое признание (особенно у не математиков) эта теория
получила после того, как было показано, что существует достаточно
широкий класс игровых задач, в которых найдётся равновесное
состояние. Это теорема существования равновесия в бескоалиционной
игре.
      Теорема (Нэш, [15, с.205 -221]). Пусть в бескоалиционной
игре Г из (1.1) конечное число игроков n. Для каждого игрока
i ∈ N множество его стратегий X i - компактное множество в
евклидовом пространстве R mi . Функция выигрышей f i (x )
непрерывна на множестве ситуаций X. При любом наборе
стратегий
               x −i = ( x1 ,..., x i −1 , xi +1 ,..., x n ) ∈ ∏ X j
                                                           j ≠i


всех игроков, кроме i ∈ N , функция выигрышей f i ( x −i , xi )
вогнута на пространстве стратегий X i . Тогда в бескоалиционной
игре существует ситуация равновесия по Нэшу.
      Доказательство основано на применении теоремы о
неподвижной точке. Существует несколько таких теорем. Для
некоторых из них формулировки, доказательства, обсуждения
можно найти в [13, 14]. Из них монографию [14] отличает высокий
математический уровень, она написана для математически
подготовленного читателя. Монография [13] посвящена
экономическим приложениям. Приведём схему доказательства,
основанную на теореме Какутани [13, c.154; 14, c.336].
      Теорема (Какутани). Пусть X – непустое, компактное,
выпуклое подмножество евклидового пространства R m .
Многозначное отображение φ : X → X имеет значениями
компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным
сверху по включению. Тогда отображение имеет неподвижную
точку, т.е. ∃x* ∈ X , что φ ( x*) = x * .
    Рассмотрим бескоалиционную игру (1.1) и ситуацию

                                                                      118