Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 119 стр.

x = ( x1 ,..., x n ) = f ( x −i , xi ) ∈ X . Для каждого i ∈ N обозначим
      ψ ix ( x i ) = {x i* ∈ X i | f i ( x −i , x i* ) ≥ f i ( x − i , x i ), ∀x i ∈ X i }.   (13.3)
Так как функция f i ( x −i , x i ) вогнута на X i и неравенства в (13.3)

нестрогие, то множество стратегийψ ix ( x i ) игрока i ∈ N является

замкнутыми выпуклым подмножеством в X i . Тогда и декартово
произведение

                                    ∏ψ
                                     i∈N
                                             i
                                              x
                                                  ( xi ) = ψ ( x)

будет замкнутым и выпуклым в пространстве всех ситуаций X.
     Рассмотрим многозначное отображение x → ψ (x ). Оно
является полунепрерывным сверху по включению ввиду того, что
в неравенствах из (13.3) стоят непрерывные функции от ситуации
x, а при переходе к пределу неравенство сохраняется. Тогда
выполнены все условия теоремы Какутани и, значит, существует
неподвижная точка x* ∈ X , что φ ( x*) = x * . Для этой ситуации
перепишем неравенство из (13.3).Получаем
                 f i ( x*) = f i ( x −*i , xi* ) ≥ f i ( x −*i , xi ), ∀x i ∈ X i .
      Выполнено условие (3.1) определения и, значит, ситуация
 x* ∈ X является равновесием по Нэшу в бескоалиционной игре
(1.1). Теорема доказана.
       Часто в теореме Нэша условие вогнутости функции
выигрыша игрока i ∈ N на множестве его стратегий заменяется
условием квазивогнутости.
      Если рассматривать игровую задачу примера 12.2 в чистых
стратегиях, то для неё не выполнены условия теоремы Нэша.
Действительно, множество стратегий первого (второго) игрока
представляется двумя изолированными точками в евклидовом
пространстве X = Y = {(1,0); (0,1)} ∈ R 2 . Это множество не
является выпуклым, соответствующая функция выигрышей (заданная

                                                                                                  119