Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 28 стр.

     Определение 3.2. Ситуация ( x∗, y∗) ∈ X × Y в антагонисти-ческой
игре (1.2) называется седловой точкой, если
        ∀x ∈ X ∀y ∈ Y f ( x, y*) ≤ f ( x*, y*) ≤ f ( x*, y ). (3.3)
     В матричной игре ситуация соответствующая i-ой строке и
j-ому столбцу матрицы выигрышей является седловой точкой
тогда и только тогда, соответствующий выигрыш aij ∈ R
является наибольшим в i-ом столбце и наименьшим в j-ой строке
этой матрицы. В игре примера 3.1 таким свойством обладает
ситуация x* = ( H , П ) ∈ X = X 1 × X 2 . В матричной игре примера
2.2 сформулированному выше условию удовлетворяет ситуация
x* = ( A2 , B3 ) ∈ X 1 × X 2 .
      Пример 3.2. (Орлянка, начало). Игрок 1 выкладывает монету
на стол, а игрок 2, не видя монеты, угадывает, какой стороной
(т.е. “орлом” (о) или “решкой” (р)) вверх она положена. В случае
угадывания он получает от игрока 1 одну единицу выигрыша, в
противном случае уплачивает ему единицу.
      Данная игра является матричной. Матрица выигрышей
представлена в таблице 3.3.
                                                 Таблица 3.3.




     В этой игровой задаче нет доминируемых стратегий, поэтому её
нельзя проанализировать алгоритмом удаления строго доминируемых
стратегий. В этой задаче нет и ситуации равновесия. Этот пример
выявляет негативное свойство определения равновесия по Нэшу.
Существуют игры, в которых равновесие нет.
     Подход к изучению таких задач основан на стандартном
математическом подходе. В случае отсутствия решения среди
заданных ситуаций следует расширить их множество и
анализировать задачу в этом расширенном множестве. Расширение
игровых задач и решение примера 3.2. – в следующих параграфах.
                                                                  28