Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 30 стр.

§4. Гарантированные решения
     Равновесие по Нэшу, как решение бескоалиционной игры,
предполагает некоторый (минимальный) уровень договорённости
между игроками. Выбирая стратегию из равновесной ситуации,
игрок предполагает, что другие игроки рациональны, и они
считают, что и он рациональный игрок. На этом основан уровень
минимальной совместной договорённости (кооперации) между
игроками. Так думает каждый игрок, и, если равновесие
единственно, то все они придерживаются равновесного выбора.
Но бескоалиционную игру можно анализировать и с позиций
отдельного игрока.
     Рассматривается матричная игра, заданная матрицей
Am×n = (aij ). Конечные множества стратегий X 1 = X = {1,2,..., m}
первого и X 2 = Y = {1,2,..., n} второго игроков соответствуют
номерам строк и столбцов матрицы A .
     Пусть первый игрок выбирает строку i ∈ X , тогда,
независимо от выбора второго игрока, его выигрыш будет больше
или равен числа min aij . Но поскольку он может выбрать строку
                   i
как угодно, он может сделать эту величину возможно большей.
Значит, он выбирает строку из условия
                       max min aij = min ai* j = ν H
                       i∈X   j∈Y       j∈Y

     В этом случае стратегия i* ∈ X называется максиминной
стратегией первого игрока, а соответствующее значение ν Н –
максимином. Это число является гарантией для первого игрока.
При таком выборе первый игрок получит выигрыш ν Н , либо
больший выигрыш. Приведённые рассуждения верны для любого
игрока в бескоалиционной игре. В ней любой игрок имеет
аналогично определённую гарантию.
     Пример 3.2. (Продолжение). Найти гарантии игроков в игре
Семейный спор.
                                                               30