Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 32 стр.

стратегией второго игрока, а соответствующее значение ν B –
минимаксом или верхней ценой игры. В этом случае минимакс
ν Н называю нижней ценой игры. Число ν является гарантией
                                       B

для второго игрока. При таком выборе второй игрок получит
выигрыш ν B , либо меньший выигрыш. Напомним, что второй
игрок стремится увеличить выигрыш для матрицы − Am×n = (− aij )
что равносильно выбору наименьшего числа из выделенных
наибольших чисел в столбцах матрицы Am×n .
     Связь    между     минимаксом       и    максимином      в
антагонистической игре (1.2) следует из неравенства минимаксов.
      Утверждение 4.1. (неравенство минимаксов). Пусть задана
функция f : X × Y → R , тогда
           sup inf f ( x, y ) ≤ inf sup f ( x, y ).         (4.1)
            x∈X   y∈Y            y∈Y   x∈X
    Доказательство этого общематематического факта можно
найти в [1, c.31; 4, с.15-16]. Тем более он будет верен для конечных
множеств стратегий. В случае матричной игры (4.1) означает
                     ν Н ≤ νB .                      (4.2)
Это неравенство оправдывает термины: нижняя и верхняя цена
игры.
     Неравенство     минимаксов      позволяет      разбить
антагонистические игры на два больших класса. Во-первых, это
антагонистические игры, у которых (4.2) выполняется как
равенство, т.е. ν Н = ν B . Это общее значение называется ценой
игры и обозначается ν *. В этом случае существует зависимость
между гарантированными решениями и седловой точкой в
антагонистической игры (3.3), которая представлена
     Утверждение 4.2. Для того, чтобы в антагонистической игре
(1.2) ситуация ( x*, y*) ∈ X × Y      была седловой точкой
необходимо и достаточно, чтобы существовали максимин и
минимакс

                                                                    32