Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 34 стр.

                         νН ≤ ν * ≤ νB ,             (4.4)
где ν * = f(x*, y*) – цена игры.
      Неравенства (4.4) обычно является первой проверкой для
ситуации, претендующей на роль равновесия по Нэшу. Решение
примера Орлянка отложим до следующих разделов.



            Задачи для самостоятельного решения

    Задача 4.1. Определить верхнюю и нижнюю цену игры,
заданной матрицей

                              ⎛ 0,5 0,6 0,8 ⎞
                              ⎜             ⎟
                          A = ⎜ 0,9 0,7 0,8 ⎟.
                              ⎜ 0,8 0,6 0,6 ⎟
                              ⎝             ⎠
     Задача 4.2. Найти гарантированные решения для первого и
второго игроков и седловую точку в матричной игре с матрицей
выигрыша A = (aij ) m×n ,     если m = n , aij = i − j.
     Задача 4.3. Пусть в антагонистической игре множества
стратегии игроков X = Y = [-1, 1] и функция выигрыша первого
игрока f(x, y) = -x2 + 2xy + y2. Найти гарантированные решения
игроков и седловую точку.
     Задача 4.4. Пусть функция f(x, y) определена и непрерывна
на множестве X × Y, где X ⊂ Rm, Y ⊂ R n выпуклые компактные
множества. При каждом y ∈ Y функция f(x, y) вогнута по x ∈ X и
при любом x ∈ X она выпукла по y ∈ Y. Тогда выполнено
равенство
                max min f ( x, y ) = min max f ( x, y ).
                 x∈ X   y∈Y           y∈Y   x∈X




                                                           34