Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 56 стр.

невыпуклого пятиугольника MNPQR границу составляют точки
замкнутой ломаной MNPQR. У этого множества четыре угловых
точек U 2 = {M, N, Q, R}. Точка P является вершиной
пятиугольника, но не является угловой точкой. У круга (шара)
соответствующая окружность (сфера) состоит из всех граничных
точек этого множества. Здесь каждая точка окружности (сферы)
является угловой точкой.
     Выпуклые множества и угловые точки рассматриваются в
n – мерном векторном пространстве. Множество V ⊂ R n
называется выпуклым, если ∀x 1 , x 2 ∈ V , α ∈ [0,1] линейная
комбинация          α ⋅ x 1 + (1 − α ) ⋅ x 2 ∈ V .
                                     Это эквивалентная
формулировка для выпуклого множества, т.к. множество
                     {α ⋅ x 1 + (1 − α ) ⋅ x       α ∈ [0,1]}
                                               2
                                                                               (7.1)
соответствует отрезку с концами x 1 и x 2 в векторном
пространстве R n .
    Обобщением понятия отрезка в векторном пространстве
является выпуклая линейная комбинация точек. Точка x ∈ R n
называется выпуклой линейной комбинацией точек
x 1 , x 2 , …, x k ∈ R n , если выполнены условия
                                                                k
     x = α 1 x 1 + ..... + α k x k , α i ≥ 0, i = 1,..., k ,   ∑α
                                                               i =1
                                                                      i   = 1. (7.2)

    Если в (7.2) используется две точки (k = 2), то получается
определение отрезка (7.1). С применением выпуклой линейной
комбинации точек, можно дать ещё одно, эквивалентное
определение выпуклости. Множество V ⊂ R
                                                                          n
                                                    является
выпуклым, если вместе с любой системой из k точек содержит и
их выпуклую линейную комбинацию (7.2).
    Рассмотрим отрезок (7.1) в векторном пространстве. У него
две угловые точки: x 1 , x 2 ∈ R n . Выпуклая линейная комбинация
этих точек образует весь отрезок. Рассмотрим три точки
                                                                                       56