Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 58 стр.

                                                n
    Теорема (Каратеодори). Пусть M множество в R . Тогда
     co( M ) = {x ∈ R n x = α1 ⋅ x 1 + ... + α k ⋅ x k , k ≤ n + 1, x 1 ,..., x k ∈ M ,
                 α1 + ... + α k = 1, α1 ≥ 0,..., α k ≥ 0}. (7.4)
    В этом случае говорят, что каждая точка их co(M)
представима в виде линейной комбинации не более чем n+1 точки
из M. Если множество М компакт, то и множество co(M) также
является компактом.
    Выпуклые множества и многогранники используются при
изучении решений систем линейных неравенств. Рассмотрим
линейное уравнение
                        a11 x1 + ... + a 1n x n = b1 .(7.5)
Множество его решений называется гиперплоскостью в векторном
                    n
пространстве R . В частном случае при n = 2 гиперплоскость в
(7.5) геометрически представляется прямой на плоскости. При n
= 3 эта гиперплоскость есть плоскость в пространстве.
      Рассмотрим линейное неравенство, соответствующее (7.5)
                        a11 x1 + ... + a 1n x n ≤ b1 .(7.6)
Множество точек, удовлетворяющее (7.6), называется
полупространством, на которое делится всё пространство
гиперплоскостью (7.5), включая и эту гиперплоскость. Отметим,
что гиперплоскость и полупространство являются выпуклыми
множествами.
     Перейдём к системе m линейных неравенств
                        a11 x1 + ... + a 1n x n ≤ b1 ,
                        …..
                        a m1 x1 + ... + a m1n x n ≤ bm .
                                                     (7.7)
     Решение каждого неравенства в (7.7) является
полупространством, т.е. выпуклым множеством. Тогда, согласно
теореме о пересечении выпуклых множеств, множество решений
такой системы также выпукло. Если это решение ограничено, то
оно является многогранником и выпуклой оболочкой конечной
системы угловых точек.
                                                                                     58