Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 65 стр.

различные формы представления задачи линейного
программирования в зависимости от вида ограничений для области
допустимых значений. Говорят, что в (8.1) – (8.3) задана стандартная
задача линейного программирования.
     Если в задаче линейного программирования разыскивается
x* ∈ X , доставляющий наименьшее значение функции f (x ),
когда x ∈ X . , то получается задача минимизации на множестве
заданном ограничениями – неравенствами.
     Существование решения в задаче линейного программи-
рования следует из
     Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть в задаче
математического программирования область допустимых
значений X ⊂ R m является компактом, а целевая функция
f (x) непрерывна на X. Тогда
                ∃x* ∈ X , f ( x*) ≥ f ( x ), ∀x ∈ X
               (∃x* ∈ X , f ( x* ) ≤ f ( x), ∀x ∈ X ).
    Так как линейная функция непрерывна, то из теоремы
следует условие существования решения в задаче линейного
программирования.
    Следствие. Пусть в задаче линейного программирования
(8.1) – (8.3) область допустимых решений X ⊂ R m непуста и
ограничена. Тогда
                ∃x* ∈ X , f ( x*) ≥ f ( x ), ∀x ∈ X
               (∃x* ∈ X , f ( x* ) ≤ f ( x), ∀x ∈ X ).
     Рассмотрим графический метод решения задачи линейного
программирования. Этот метод применим, когда X ⊂ R 2 или
задача сводится к задаче с двумя переменными.
Графический метод разбивается на два этапа.
     Первый этап. Используя условия (8.2) – (8.3) на плоскости
строится область допустимых решений X ⊂ R2 .
     Второй этап. На плоскости строятся прямые - линии уровня

                                                                 65