Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 66 стр.

c1 x1 + c 2 x 2 = ρ , ρ ∈ R. В точках касания линий уровня с областью
X достигаются наибольшие и наименьшие значения функции f.
Отметим, что линия уровня касается области X, если
    1) область и прямая имеют общие точки;
    2) область расположена по одну сторону от прямой – линии
уровня/
    Пример 8.1. Решить задачу линейного программирования
графически
                        f ( x ) = x 1 + x 2 → extr ;
                                x 1 + 3x 2 ≤ 30,
                                2x 1 + x 2 ≤ 20,
                                x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.
    В задаче линейного программирования extr означает
единый термин для экстремума, т.е. для нахождения максимума
и минимума функции. Построим область X на плоскости. Она
расположена в первой четверти ( x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0) и ограничена
прямыми m и n. Для удобства построения запишем уравнения
этих прямых в отрезках.
                      x1 x 2               x  x
               (m ) :    +   = 1,  ( n ) : 1 + 2 = 1.
                      30 10               10 20
     Здесь a1 = 30, a2 = 10 пересечение прямых m и n с осью OX,
а b1 = 10, b2 = 20 – пересечение с осью OY. Соответствующий
чертёж представлен на рис.8.1. Здесь m представлена прямой АВ,
а n представлена прямой ДВ.
     Каждая прямая, как решение соответствующего неравенства,
определяет полуплоскость (7.6). В случае прямых АВ и ДВ это
будут полуплоскости, содержащие начало отсчёта O. Тогда
область допустимых значений в задаче линейного
программирования представляется четырёхугольником OДBC.
     Построим прямые уровня, которые касаются области X.
Таких прямых две


                                                                  66