Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 93 стр.

     Рассуждения для второго игрока аналогичны. Оптимальная
стратегия Q обеспечивает игроку V средний выигрыш, не больше,
чем цена игры ν , при любой стратегии первого игрока. В том
числе и против каждой чистой стратегии первого игрока. Для m
чистых стратегий первого игрока получаем

                                     ⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ q1 ⎞
                                     ⎜                ⎟ ⎜ ⎟
         Wi AQ = (0,...,1,...,0) ⋅ ⎜ ... ... ... ⎟ ⋅ ⎜ ... ⎟ =
            T

                                     ⎜a               ⎟ ⎜ ⎟
                                     ⎝ m1 ... a mn ⎠ ⎝ q n ⎠
             (q1 a i1 + ... + q n a in ), i = 1,..., m.
и выполнены неравенства
                  q1 ai1 + ... + q n ain ≤ ν , j = 1,..., m.     (11.8)
    Каждое из полученных неравенств разделим на ν , при этом
можно считать, что ν > 0. Введём новые переменные

                  y1 = q1                  qn
                            ν ,....., y n = ν .                  (11.9)
    Тогда (11.7) примет вид
                  ai1 x1 + ... + a in y n ≤ 1, j = 1,..., n.
                                                          (10.10)
Разделим равенство (11.2) на цену игры ν > 0. Тогда, используя
обозначения (11.9), получаем
                 y1 + y2 +…..+ yn = 1/ ν .                (10.11)
Минимизация цены игры ν эквивалентна максимизации
величины 1/ ν . Поэтому задачу определения yi , i = 1,…,n, можно
переформулирована следующим образом.
     Определить значения переменных yi ≥ 0, i = 1,…,n, так, чтобы
они удовлетворяли линейным ограничениям (11.10) и при этом
линейная функция
                  Z * = y1 + y 2 + ... + y n                     (11.12)
обращалась в максимум.
    Это задача линейного программирования на максимизацию
функции Z*. Решая задачу (11.10), (11.12) для неотрицательных

                                                                      93