Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 91 стр.

§11. Матричная игра и задачи линейного
программирования
     Задачи линейного программирования (прямая и
двойственная) тесно связаны с матричной игрой, т.е. с конечной
антагонистической игрой.
     Пусть игра задана платёжной матрицей Am × n = (aij), i = 1,…,m, j
= 1,…,n. Будем считать, что все элементы этой матрицы
положительны. Если это не так, то в матрице А найдутся
отрицательные числа. Выберем среди их наименьшее. Пусть это будет
число -k. Прибавим во всем элементам матрицы число k+1. Тогда все
элементы матрицы станут положительными. В новой задаче с
матрицей, составленной их положительных элементов, седловая точка
будет такая же, как у исходной матрицы. Если цену этой новой игры
уменьшить на k+1, то получим цену первоначальной игры. В
дальнейших рассуждениях, не уменьшая общности, будем считать,
что все элементы матрицы А положительны.
     В матричной игре первого игрока обозначим W, второй
игрок – V. Игрок W обладает m чистыми стратегиями, именно,
Wi = (0,…, 1,…,0)T, i = 1,…,m и единица расположена на месте i.
Игрок V располагает n чистыми стратегиями Vj = (0,…, 1,…,0)T, j
= 1,…,n и единица расположена на месте j. Будем определять
оптимальные стратегии первого и второго игроков
          x* = P = ( p1 ,..., p m ) T ,   y* = Q = (q1 ,..., q n ) T .
     Здесь координаты векторов есть вероятности выбора ими
соответствующих чистых стратегий. Про такие стратегии
известно, что
                            p1 + ... + p m = 1 ,                         (11.1)

                           q1 + ... + q n = 1.                           (11.2)
     Оптимальная стратегия P обеспечивает игроку W средний
выигрыш, не меньше, чем цена игры ν , при любой стратегии
второго игрока. В том числе и против каждой чистой стратегии
второго игрока. Для n чистых стратегий второго игрока получаем
                                                                              91