Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 92 стр.

                                                              ⎛0⎞
                                                              ⎜ ⎟
                                        ⎛ a11     ... a1n ⎞ ⎜ ...⎟
                                        ⎜                   ⎟
            P AV j = ( p1 ,..., p m ) ⋅ ⎜ ...
              T
                                                  ... ... ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ =
                                                              ⎜ ⎟
                                        ⎜a        ... a nm ⎟⎠ ⎜ ...⎟
                                        ⎝ m1
                                                              ⎜0⎟
                                                              ⎝ ⎠
                  ( p1 a1 j + ... + p m a mj ),   j = 1,..., n

т.е. выполнены неравенства
            p1 a1 j + ... + p m a mj ≥ ν , j = 1,..., n.                (11.3)
    Каждое из полученных неравенств разделим на ν , при этом
можно считать, что ν > 0. Введём новые переменные

                   x1 = p1                  pm
                             ν ,....., x m = ν .                        (11.4)
Тогда (11.3) примет вид
                   a1 j x1 + ... + a mj x m ≥ 1, j = 1,..., n.          (11.5)
Разделим равенство (11.1) на цену игры ν > 0. Тогда, используя
обозначения (11.4), получаем
                 x1 + x2 +…..+ xm = 1/ ν .               (11.6)
Максимизация цены игры          ν эквивалентна минимизации
величины 1/ ν . Поэтому задачу определения xi, i = 1,…,m, можно
переформулирована следующим образом.
     Определить значения переменных xi ≥ 0, i = 1,…,m, так,
чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (11.5) и при
этом линейная функция
                   Z = x1 + x 2 + ... + x m                             (11.7)
обращалась в минимум.
      Это задача линейного программирования на минимизацию
функции Z. Решая задачу (11.5), (11.7) для неотрицательных xi ≥ 0,
i = 1,…,m, можно найти величину 1/ ν и, значит, цену исходной игры
 ν . По решению задачи линейного программирования (из формул
(11.4)) определяется оптимальная стратегия первого игрока.
                                                                             92