Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 94 стр.

yi ≥ 0, i = 1,…,n, можно найти величину 1/ ν и, значит, цену исходной
игры ν . Она будет равна цене игры, найденной ранее. По решению
задачи линейного программирования (из формул (11.9)) определяется
оптимальная стратегия второго игрока.
      Итак, решение матричной игры с матрицей А = Am × n = (aij),
i = 1,…,m, j = 1,…,n свелась к решению двух задач линейного
программирования (11.5), (11.7) и (11.10), (11.12). Из этих формул
следует, что это пара двойственных задач. Из прямой задачи
линейного программирования (11.10), (11.12) (задача на
максимум) находится оптимальная стратегия второго
(минимизирующего) игрока. Из двойственной задачи линейного
программирования (11.5), (11.7) (задачи на минимум) находится
оптимальная стратегия первого (максимизирующего) игрока.
      Пример 11.1. Решить матричную игру с матрицей А методом
линейного программирования

                               ⎛ 3 6 8⎞
                               ⎜       ⎟
                           А = ⎜ 9 4 2 ⎟.
                               ⎜ 7 5 4⎟
                               ⎝       ⎠
      Найдём нижнюю цену игры
 ν Н = max min aij = мах{min{3, 6, 8}, min{9, 4, 2}, min{7, 5, 4}} =
        i   j

                       = мах{3, 2, 4} = 4 > 0.
     Так как ν Н = 4 > 0, то задачи линейного программирования
пишем непосредственно для матрицы А.
     Запишем прямую задачу линейного программирования
(11.10), (11.12).
                    f ( x ) = x1 + x 2 + x 3 → max;
                         3x1 + 6 x 2 + 8 x3 ≤ 1,
                        9 x1 + 4 x2 + 2 x3 ≤ 1,
                        7 x1 + 5 x 2 + 4 x3 ≤ 1,
                          x j ≥ 0, j = 1,...,3.

                                                                  94