ВУЗ:
Составители:
10
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и ал-
гебраические.
Трансцендентными называются нелинейные уравнения, содер-
жащие тригонометрические или другие специальные функции, напри-
мер
xlg
или e
x
.
Для решения нелинейных уравнений широко используются мето-
ды, позволяющие получать приближённое решение с любой заданной
степенью точности (итерационные методы).
Пусть дано уравнение:
(
)
0=xf
, (2.1)
где функция
(
)
xf
определена и непрерывна в некотором конечном или
бесконечном интервале
[
]
ba,
. В некоторых случаях от функции
(
)
xf
тре-
буется существование и непрерывность первой
(
)
xf
′
и второй
(
)
xf
′
′
про-
изводных.
Всякое значение x
∗
, обращающее функцию
(
)
xf
в ноль, т.е. такое, что
(
)
0=
∗
xf
, называется корнем уравнения (2.1) или нулем функции
(
)
xf
.
Задача нахождения корней уравнения (2.1) обычно решается в два этапа:
I. отделение корней, т.е. установление отрезка
[
]
ba,
, принадле-
жащего области определения функции
(
)
xf
, на котором имеется один
и только один корень уравнения
(
)
0=xf
;
II. уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до задан-
ной степени точности.
При отделении корней уравнения можно пользоваться следующей
теоремой математического анализа:
Теорема 1: Если непрерывная функция
(
)
xf
принимает значения
разных знаков на концах отрезка
[
]
ba,
, т.е.
(
)
0)( <bfaf
, то внутри это-
го отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения
(
)
0=xf
, т.е. найдётся хотя бы одно число
[
]
bax ,∈
∗
, такое, что
(
)
0=
∗
xf
(рис. 2.1).
Если же при этом функция
(
)
xf
имеет первую производную
(
)
xf
′
,
которая не меняет своего знака внутри интервала
[
]
ba,
, т.е.
(
)
0>
′
xf
или
(
)
0<
′
xf
при
bxa
≤
≤
, то корень x
∗
будет единственным.
В общем случае, если
(
)
xf
является аналитической функцией пере-
менной x на отрезке
[
]
ba,
и, если на концах отрезка
[
]
ba,
функция
(
)
xf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
