Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11
принимает значение разных знаков, то между a и b имеется нечётное
число корней уравнения
(
)
0=xf
; если же на концах отрезка
[
]
ba,
функция
(
)
xf
принимает значение одинаковых знаков, то между a и b
или нет корней этого уравнения, или имеется их чётное число (учиты-
вая кратность корней).
Определение корня можно производить аналитически или графически.
Аналитический метод определения корней заключается в сле-
дующем. Вначале определяются знаки функции
(
)
xf
в граничных точ-
ках x = a и x = b области её существования. Затем определяются знаки
функции
(
)
xf
в ряде промежуточных точек
...,,,
21
ccx =
выбор кото-
рых учитывает особенности функции
(
)
xf
. Если окажется, что
(
)
(
)
0
1
<
kk
cfcf
, то, согласно теореме 1, в интервале
[
]
1
,
kk
cc
имеется
хотя бы один корень уравнения
(
)
0=xf
. Остаётся лишь убедиться в
единственности корня на этом интервале.
Задача отделения корней может несколько упроститься, если функ-
ция
(
)
xf
имеет непрерывную первую производную
(
)
xf
′
на интервале
[
]
ba,
. В этом случае вначале определяются интервалы монотонности
функции
(
)
xf
, т.е. интервалы, на которых
(
)
xf
′
не меняет своего знака.
Для этого решается уравнение
(
)
0=
′
xf
, а затем вычисляются
значения
(
)
xf
в точках перемены знака производной
(
)
xf
′
и опреде-
ляются интервалы, на которых функция
(
)
xf
имеет разные знаки.
Графически корни уравнения (2.1) можно определить, построив
график функции
(
)
xfy =
, определив абсциссы точек пересечения
графика функции
(
)
xfy =
с осью 0X (рис. 2.1). Если уравнение (2.1)
не имеет близких между собой корней, то этим способом его действи-
тельные корни легко определяются (для определения комплексных
корней нелинейного уравнения
(
)
0=xf
и их численного решения су-
ществуют специальные методы, которые в данном пособии рассматри-
ваться не будут).
)(bf
X
Y
*
2
x
*
3
x
1
*
x
a
)(xfy =
)(af
а)
)(bf
X
Y
*
x
a
)(xfy =
)( af
0)(' <xf
)
Рис. 2.1. Иллюстрация наличия корней уравнения по графику функции

Страницы