Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

135
14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Решение большинства инженерных задач связано с оптимизацией
при наличии некоторого количества ограничений на управляемые пе-
ременные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры об-
ласти, в которой проводится поиск оптимума. Но в то же время делают
процесс оптимизации более сложным, так как рассмотренные ранее
методы оптимизации нельзя использовать при наличии ограничений.
При этом может нарушаться даже основное условие существования
экстремума, в соответствие с которым оптимум должен достигаться в
стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом.
В общем случае задача оптимизации может быть записана в виде
(
)
Xx
N
xxxff
∈
→= min...,,,
21
(14.1)
при ограничениях на независимые переменные
(
)
Nix
i
,1=
в форме
равенств
(
)
Jjxxxh
Nj
,1,0...,,,
21
==
(14.2)
и(или) неравенств
(
)
Kkxxxg
Nk
,1,0...,,,
21
=≥
. (14.3)
14.1. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим задачу оптимизации, записанную в виде (14.1), (14.2),
т.е. содержащую несколько ограничений в виде равенств. Эта задача
может быть в принципе решена как задача безусловной оптимизации,
полученная путём исключения из целевой функции J независимых пе-
ременных с помощью заданных ограничений – равенств. Таким обра-
зом, уменьшается размерность исходной задачи с N до N – J. Например,
из ограничений (14.2) можно выразить:
(
)
,,...,,...,,,
~
1121 Njjjj
xxxxxhx
+−
=
Jj ,1=
и задача (14.1), (14.2) запи-
шется в виде
(
)
Xx
JN
xxxf
∈
−
→ min...,,,
21
.
Однако метод исключения переменных применим лишь в тех
случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно раз-
решить относительного некоторого конкретного набора независимых
переменных. Но при наличии большого числа ограничений в виде ра-
венств или когда уравнение не удаётся разрешить относительно пере-
менной, этот метод не может быть применим.
В таких ситуациях целесообразно использовать метод множите-
лей Лагранжа. При этом задача с ограничениями (14.1), (14.2) преоб-
разуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации некоторой
функции Лагранжа, в которой фигурируют неизвестные параметры,
называемые множителями Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид

Страницы