Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

137
Если существует возможность обнаружить ограничения, которые
неактивны в точке оптимума, до непосредственного решения задачи,
то эти ограничения можно исключить из модели и тем самым умень-
шить её размеры.
Кун и Таккер построили необходимые и достаточные условия оп-
тимальности для задач нелинейного программирования, исходя из
предположения о дифференцируемости функций f, g
k
и h
j
. Эти условия
оптимальности, называемые условиями Куна–Таккера, можно сформу-
лировать в виде задачи нахождения решения некоторой системы нели-
нейных уравнений и неравенств: найти векторы x, u, v, удовлетворяю-
щие условиям:
( ) ( ) ( )
0
11
=∇ν−∇−∇
∑∑
==
J
j
jj
K
k
kk
xhxguxf
;
(
)
Kkxgu
kk
,1,0 ==
;
(
)
Jjxh
j
,1,0 ==
;
(14.6)
(
)
≥
≥
.0
;0
k
k
u
xg
Тогда необходимые и достаточные условия оптимальности реше-
ния задачи нелинейного программирования могут быть сформулиро-
ваны следующим образом.
Теорема 1: Необходимость условия Куна–Таккера.
Пусть f, g и h – дифференцируемые функции в задаче (14.1) – (14.3),
а x
∗
– допустимое решение данной задачи. Положим
(
)
{
}
0==
∗
xgkK
k
.
Пусть
(
)
∗
∇ xg
k
при
Kk ∈
и
(
)
∗
∇ xh
j
при
Jj ,1=
линейно независимы.
Тогда если x
∗
– оптимальное решение задачи нелинейного программирова-
ния, то существует такая пара векторов
(
)
∗∗
ν,u
, что
(
)
∗∗∗
ν,, ux
явля-
ется решением задачи Куна–Таккера (14.6).
Теорема 2: Достаточность условий Куна–Таккера.
Пусть в задаче (14.1) – (14.3) целевая функция
(
)
xf
выпуклая, все
ограничения в виде неравенств содержат вогнутые функции
(
)
Kkxg
k
,1, =
, а ограничения в виде равенств содержат линейные
функции
(
)
Jjxh
j
,1, =
. Тогда если существует решение
(
)
∗∗∗
ν,, ux
,
удовлетворяющее условиям Куна–Таккера (14.6), то x
∗
– оптимальное
решение задачи нелинейного программирования.
В тех случаях, когда необходимые условия Куна–Таккера выпол-
няются в нескольких точках, следует воспользоваться условиями Ку-
на–Таккера 2-го порядка, которым должна удовлетворять точка ло-
кального оптимума.

Страницы