Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

136
( ) ( )
∑
=
ν−=ν
J
j
jj
hxfxL
1
,
. (14.4)
Здесь
j
ν
– множители Лагранжа, значения которых требуется оп-
ределить. На знаки
j
ν
никаких требований не накладывается. Тогда, если
при некоторых
∗
ν
j
достигается минимум функции
(
)
ν,xL
в точке
∗
x
, в
которой выполняются ограничения
(
)
0=
∗
xh
j
, то точка
∗
x
будет точ-
кой минимума функции (14.1), так как
(
)
(
)
(
)
ν==ν
∗∗∗
,min, xLxfxL
.
Для нахождения решения задачи (14.4) приравняем частные про-
изводные функции
(
)
ν
,xL
по x к нулю, получаем следующую систему
N уравнений:
(
)
0
,
1
=
∂
ν
∂
x
xL
;
… (14.5)
(
)
0
,
=
∂
ν
∂
N
x
xL
.
Если удаётся найти решение системы (14.5) как функции от
ν
, т.е.
(
)
ν=
∗
xx
, то затем, выбрав значения
ν
, при которых выполняются ус-
ловия (14.2), можно найти окончательное решение задачи (14.1), (14.2).
Если подобный путь решения системы (14.5) оказывается затруд-
нительным, то можно расширить систему путём включения в неё огра-
ничений – равенств (14.2). Тогда решение расширенной системы, со-
стоящей из N + J уравнений с N + J неизвестными x и
ν
, определяет
стационарную точку функции L. Затем реализуется процедура провер-
ки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисле-
ния элементов матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функ-
ции от x (если матрица положительно определена – минимум, в про-
тивном случае – максимум).
14.2. УСЛОВИЯ КУНА–ТАККЕРА
Метод множителей Лагранжа позволяет решить задачу оптимиза-
ции с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот
подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ог-
раничениями как в виде равенств, так и в виде неравенств.
Рассмотрим задачу (14.1) – (14.3). Ограничения (14.3) в виде не-
равенства
(
)
0≥xg
k
называются активными или связывающими в точ-
ке
x
, если
(
)
0=xg
k
, и неактивными или несвязывающими, если
(
)
0>xg
k
.

Страницы