ВУЗ:
Составители:
24
Adet
Adet
i
i
x =
,
где матрица A
i
получается из матрицы A заменой i-го столбца столб-
цом свободных членов.
Действительно, если
0Adet ≠
, то существует обратная матрица
A
–1
. Тогда, умножая обе части уравнения (3.2) слева на A
–1
, получим:
bAAxA
11 −−
=
или
bAx
1−
=
. (3.4)
Формула (3.4) является матричной записью формул Крамера (3.3).
Однако подобный способ решения линейной системы с n неизвест-
ными приводит к вычислению (n + 1) определителей порядка n, что
представляет собой трудоёмкую операцию при сколько-нибудь боль-
шом числе n.
Применяемые в настоящее время методы решения систем линей-
ных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно разбить на две группы:
точные и приближённые.
В точных (или прямых) методах решение системы (3.1) находится
за конечное число арифметических действий. Примерами прямых ме-
тодов могут служить метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главных
элементов, метод квадратных корней и др. Однако необходимо отме-
тить, что вследствие погрешностей округления при решении задач
прямые методы на самом деле не приводят к точному решению систе-
мы (3.1) и называть их точными можно лишь отвлекаясь от погрешно-
стей округления.
Приближёнными (или итерационными) методами называются такие
методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без ок-
руглений, позволяют получить решение системы (3.1) лишь с заданной
точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено
теоретически как результат бесконечного процесса. К приближённым
методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и др.
Однако прежде чем перейти к изучению различных численных
методов решения СЛАУ, необходимо вспомнить некоторые сведения о
матрицах из курса высшей математики.
1. Пусть дана матрица
=
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa
.
Тогда обратная матрица A
–1
может быть вычислена следующим
образом:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
