Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

27
Аналогично решаются и СЛАУ, состоящие из n уравнений. В об-
щем случае количество уравнений, составляющих систему и решае-
мых методом Гаусса, не должно превышать 100. Число арифметиче-
ских действий (операций умножения и деления), которое необходимо
выполнить для реализации метода Гаусса, определяются следующей
формулой:
)1(
3
)2)(1(2
−+
++
= nn
nnn
S
∼ n
3
,
где n – число неизвестных.
Пример: Решить методом Гаусса систему уравнений
−=−−
=++
=++
.2
;932
;4
zyx
zyx
zyx
Решение:
1)
−=−−
=−
=++
.622
;1
;4
zy
zy
zyx
2)
−=−
=−
=++
.44
;1
;4
z
zy
zyx
3)
=
=−
=++
.1
;1
;4
z
zy
zyx
4)
11244;2111;1
=
−
−
=
−
−
=
=
+
=
+
=
=
zyxzyz
.
Рассмотренный метод Гаусса может с успехом быть применён
лишь в том случае, если все ведущие элементы отличны от нуля, т.е.
nia
ii
,1,0 =≠
. В противном случае обычный метод Гаусса может ока-
заться непригодным. Избегать указанных трудностей позволяет метод
Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода состоит в
том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру
неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является
наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента
здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. Тем
самым, если
0Adet ≠
, то в процессе вычислений не будет происхо-
дить деления на ноль.
Выбор главного элемента в методе Гаусса может осуществляться
по строкам и по столбцам.
В первом случае для выбора главного элемента сравниваются мо-
дули коэффициентов перед неизвестными в i-й строке, и коэффициент с
наибольшим модулем a
ip
занимает место ведущего элемента. Для того
чтобы подобная перестановка не вызывала ошибок при численном ре-
шении СЛАУ, необходимо поменять местами i-й и p-й столбцы во всех
оставшихся уравнениях системы.
При выборе главного элемента по столбцу сравниваются абсо-
лютные значения коэффициентов крайнего левого столбца матрицы A
и строка, содержащая наибольший по модулю элемент a
qj
, занимает
место главной строки с ведущим элементом a
qj
.

Страницы