ВУЗ:
Составители:
49
При этом различают интерполирование в узком смысле, когда
[
]
n
xxx ,
0
∈
, т.е. значение x является промежуточным между x
0
и x
n
, и
экстраполирование, когда
[
]
n
xxx ,
0
∉
. В дальнейшем под термином
интерполирование будем понимать как первую, так и вторую операции.
5.1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА
Для определения интерполяционных формул Ньютона введём по-
нятие конечных разностей. Пусть
(
)
xfy =
– функция, заданная таб-
личными значениями
(
)
ii
xfy =
для системы равноотстоящих точек
(
)
nix
i
...,,2,1,0=
, где
const
1
==−=∆
+
hxxx
iii
.
Тогда конечными разностями табличной функции
(
)
xfy =
назы-
ваются следующие соотношения:
iii
yyy −=∆
+1
– конечная разность 1-го порядка;
(
)
iiii
yyyy ∆−∆=∆∆=∆
+1
2
– конечная разность 2-го порядка;
…
(
)
i
k
i
k
i
k
i
k
yyyy
1
1
11 −
+
−−
∆−∆=∆∆=∆
– конечная разность k-го порядка;
…
(
)
i
n
i
n
i
n
i
n
yyyy
1
1
11 −
+
−−
∆−∆=∆∆=∆
– конечная разность n-го по-
рядка.
Конечные разности различных порядков удобно располагать в
форме таблиц двух видов: горизонтальной таблицы конечных разно-
стей или диагональной таблицы конечных разностей (табл. 5.1, 5.2).
Перейдём к рассмотрению интерполяционных формул Ньютона.
Пусть для функции
(
)
xfy =
заданы значения
(
)
ii
xfy =
для рав-
ностоящих значений независимой переменной
,
0
ihxx
i
+=
ni ...,,2,1,0
=
, где h – шаг интерполяции. Требуется подобрать поли-
ном
(
)
xP
n
степени не выше n, принимающий в точках x
i
значения
(
)
....,,2,1,0,
niyxP
iin
==
5.1. Горизонтальная таблица конечных разностей
x
i
y
i
∆
y
i
∆
2
y
i
∆
3
y
i
∆
4
y
i
∆
5
y
i
x
0
y
0
∆
y
0
∆
2
y
0
∆
3
y
0
∆
4
y
0
∆
5
y
0
x
1
y
1
∆
y
1
∆
2
y
1
∆
3
y
1
∆
4
y
1
x
2
y
2
∆
y
2
∆
2
y
2
∆
3
y
2
x
3
y
3
∆
y
3
∆
2
y
3
x
4
y
4
∆
y
4
x
5
y
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
