ВУЗ:
Составители:
51
Как первую, так и вторую интерполяционные формулы Ньютона
можно использовать для экстраполирования функции, т.е. для нахождения
значений функции y для значения аргументов x, лежащих вне пределов таб-
лицы. Если x < x
0
и x близко к x
0
, то выгодно применять первую интерполя-
ционную формулу Ньютона, причём тогда
0<
−
=
n
xx
q
n
.
Если же x > x
n
и x близко к x
n
, то удобней пользоваться второй ин-
терполяционной формулой Ньютона, причём
0>
−
=
n
xx
q
n
.
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона
обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирова-
ния назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот –
для интерполирования назад и экстраполирования вперёд. Однако
операция экстраполирования является менее точной по сравнению с
операцией интерполирования в узком смысле слова.
В общем случае погрешность интерполирования табличной
функции формулами Ньютона можно оценить с помощью остаточных
членов этих формул.
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона
имеет вид
( )
(
)
(
)
( )
( )
ξ
+
−
−
=
++ )1(1
!1
...1
nn
n
f
n
nqqq
hxR
, (5.3)
где ξ – некоторое промежуточное значение между узлами интерполи-
рования x
0
, x
1
, …, x
n
и рассматриваемой точкой x. При этом для случая
интерполирования в узком смысле
[
]
n
xx ,
0
∈ξ
, а для случая экстрапо-
лирования возможно, что
[
]
n
xx ,
0
∉ξ
.
Для второй интерполяционной формулы остаточный член может
быть рассчитан по формуле
( )
(
)
(
)
( )
( )
ξ
+
+
+
=
++ )1(1
!1
...1
nn
n
f
n
nqqq
hxR
, (5.4)
где ξ – некоторое промежуточное значение между узлами интерполи-
рования x
0
, x
1
, …x
n
и точкой x.
Обычно при практических вычислениях интерполяционная фор-
мула Ньютона обрывается на членах, содержащих такие разности, ко-
торые в пределах заданной точности можно считать постоянными.
Предполагая, что ∆
n + 1
y почти постоянная для функции
(
)
xfy =
и
h достаточно мало, и учитывая, что
( )
1
1
)1(
0
lim
+
+
+
∆
=
→
n
n
n
h
y
xf
h
, приближённо
можно положить:
( )
1
0
1
)1(
+
+
+
∆
≈ξ
n
n
n
h
y
f
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
