ВУЗ:
Составители:
52
Тогда формулы (5.3) и (5.4) соответственно можно записать в виде:
( )
(
)
(
)
( )
0
1
!1
...1
y
n
nqqq
xR
n
n
+
∆
+
−
−
≈
,
( )
(
)
(
)
( )
n
n
n
y
n
nqqq
xR
1
!1
...1
+
∆
+
+
+
≈
.
При построении таблицы разностей, использующейся в формулах
Ньютона, исходили из предположения, что значения аргумента функ-
ции – равноотстоящие, т.е. имеют постоянный шаг. Однако на практи-
ке часто приходится иметь дело с неравноотстоящими значениями ар-
гумента, которые изменяются с переменным шагом. Для таких нерав-
ноотстоящих узлов интерполирования вводится понятие разделённых
разностей, являющееся более общим по сравнению с понятием конеч-
ных разностей.
Пусть функция
(
)
xfy =
задана таблично и x
0
, x
1
, x
2
, … – значения
аргумента, а y
0
, y
1
, y
2
, … – соответствующие значения функции, где
...,2,1,0,0const
1
=≠≠−=∆
+
ixxx
iii
. Тогда отношения
( )
ii
ii
ii
xx
yy
xx
−
−
=δ
+
+
+
1
1
1
,
, i = 0, 1, 2, … называются разделёнными разно-
стями первого порядка. Аналогично определяются разделённые разно-
сти второго порядка
( )
(
)
(
)
...,2,1,0,
,,
,,
2
121
21
=
−
δ
−
δ
=δ
+
+++
++
i
xx
xxxx
xxx
ii
iiii
iii
.
В общем случае разделённые разности k-го порядка получаются
из разделённых разностей (k – 1)-го с помощью рекуррентного соот-
ношения
( )
(
)
(
)
....,2,1,0...,,2,1,
...,,...,,
...,,,
11
1
==
−
δ−δ
=δ
+
−+++
++
ik
xx
xxxx
xxx
iki
kiikii
kiii
Разделённые разности также обычно располагаются в таблицах
(табл. 5.3).
Используя понятия конечных разностей, формула Ньютона для
случая неравноотстоящих узлов интерполирования может быть запи-
сана в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )( ) ( )
.......,,,...
...,,,
11010
102100100
−
−−−δ+
+−−δ+−δ+=
nn
n
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxyxP
(5.5)
Погрешность формулы (5.5) определяется выражением для оста-
точного члена:
( )
(
)
(
)
( )
( )( ) ( )
n
n
n
xxxxxx
n
f
xR −−−
+
ξ
=
+
...
!1
10
1
, (5.6)
где ξ – некоторое промежуточное значение между точками x
0
, x
1
, …, x
n
и x.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
