ВУЗ:
Составители:
58
Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов
называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и
порядком наивысшей непрерывной на
[
]
ba,
производной – дефектом
сплайна.
Рассмотрим простейшую задачу интерполирования непрерывно
кусочно-линейной функцией (ломанной) – сплайном первой степени
(линейным сплайном). Дефект такого сплайна равен единице, так как
непрерывна только сама функция (нулевая производная), а первая
производная уже разрывна.
Поставим вопрос построения линейного сплайна
(
)
xS
1
, совпа-
дающего в точках x
0
, x
1
, …, x
n
с функцией
(
)
xf
. Получится система
уравнений:
(
)
(
)
nixfxS
iii
,1,
111,
==
−−
; (5.15)
(
)
(
)
nixfxS
iii
,1,
1,
==
.
Так как линейный сплайн на отрезке
[
]
ii
xx ,
1−
ищется в виде
(
)
xaaxS
iii 1,0,1,
+= , то система (5.15) относительно коэффициентов
отдельных многочленов перепишется в виде:
(
)
(
)
nixfxaaxS
iiiiii
,1,
111,0,11,
==+=
−−−
;
(
)
(
)
nixfxaaxS
iiiiii
,1,
1,0,1,
==+= ,
отсюда находим
(
)
(
)
(
)
(
)
nixxxfxfa
iiiii
,1,
111,
=−−=
−−
; (5.16)
(
)
11,10, −−
−=
iiii
xaxfa .
Таким образом, линейный сплайн на каждом частичном отрезке
[
]
ii
xx
,
1−
может быть найден в виде выражения:
( ) ( ) ( )
nixf
h
xx
xf
h
xx
xS
i
i
i
i
i
i
i
,1,
1
11,
=
−
+
−
=
−
−
, (5.17)
где
1−
−=
iii
xxh
.
На практике наиболее широкое распространение получили
сплайны третьей степени
(
)
xS
3
– функции, удовлетворяющие сле-
дующим условиям:
1) на каждом частичном отрезке
[
]
ii
xx ,
1−
,
ni ,1=
функция
(
)
xS
i 3,
является многочленом третьей степени;
2) функция
(
)
xS
3
, а также её первая и вторая производные не-
прерывны на отрезке
[
]
ba,
, т.е. дефект сплайна равен единице;
3)
(
)
(
)
nixfxS
ii
,0,
3
==
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
