ВУЗ:
Составители:
62
6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В ходе автоматизированной обработки результатов испытаний
технических систем возникает необходимость аппроксимации функ-
ций, заданных экспериментальными таблицами данных. Одной из про-
стейших задач аппроксимации, когда от аппроксимирующей функции
требуется прохождение через все точки, заданные таблицей, является
задача интерполяции.
На практике интерполяционные формулы применяются лишь в
тех случаях, когда ошибки в табличных данных можно не учитывать, и
число n точек x
i
является небольшим. Это объясняется тем, что в ре-
альных задачах ошибки в экспериментальных данных необходимо
учитывать. Кроме того, при больших n интерполяционные формулы
становятся громоздкими, что влечёт за собой определённые трудности
при их решении.
В таких условиях задача приближения функции может быть
сформулирована следующим образом. Требуется построить функцию
(
)
xF
, принадлежащую известному классу, такую, что значение функ-
ции
(
)
xF
в точках x
i
не слишком сильно отличается от заданных зна-
чений табличной функции
(
)
ii
xfy =
, т.е. разности
(
)
ii
xFy −
– доста-
точно малы. В такой постановке задача аппроксимации может быть
решена с помощью метода наименьших квадратов.
Предположим, что функция
(
)
xfy =
задана на отрезке
[
]
ba,
экспериментальными значениями
(
)
ii
xfy =
, ni ,0= . Аппроксими-
рующую функцию будем искать в виде линейной модели
(
)
(
)
(
)
(
)
xaxaxaxF
kk
ϕ++ϕ+ϕ= ...
1100
. (6.1)
Тогда согласно методу наименьших квадратов (МНК) наилучшее
приближение функции (6.1) к табличной функции
(
)
xfy = будет дос-
тигаться при минимальном значении следующей функции невязки:
( ) ( )( )
.min...,,,
Ф
0
2
10
→−=
∑
=
n
i
iik
xFyaaa (6.2)
Задача (6.2), т.е. нахождение таких значений коэффициентов (a
0
, a
1
,
…, a
k
), при которых функция Ф достигает минимального значения, может
быть решена с использованием классических методов математического
анализа. Тогда условие минимума Ф определяется системой уравнений
kj
a
j
,0,0
Ф
==
∂
∂
, (6.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
