ВУЗ:
Составители:
65
От указанных недостатков можно избавиться, если вместо произ-
вольной линейной модели (6.1) использовать линейную систему орто-
гональных полиномов.
Система полиномов
(
)
{
}
∞
=
ϕ
0jj
x
будет являться ортогональной на
отрезке
[
]
ba,
, если
( ) ( )
( )
( ) ( )
mjxxxx
im
n
i
ijmj
≠=ϕϕ=ϕϕ
∑
=
,0,
0
.
Для полиномов такого вида матрица коэффициентов из уравнения
(6.5) примет диагональный вид. Тогда коэффициенты a
0
, a
1
, …, a
k
мо-
гут быть найдены из простых выражений:
( ) ( )
kjxyxa
n
i
iji
n
i
ijj
,0,
0
2
0
=ϕϕ=
∑∑
==
. (6.7)
В настоящее время разработано несколько подходов к построе-
нию систем ортогональных полиномов. Одной из наиболее простых
является система полиномов Чебышева.
Пусть нам дано n + 1 узлов x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
, где
hxx
ii
=−
−1
. Вводя
замену
h
xx
q
0
−
=
, точки x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
перейдут соответственно в 0,
1, …, n. Тогда систему ортогональных полиномов Чебышева можно
получить с помощью следующих рекуррентных формул:
(
)
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
qP
k
knk
qPq
h
qP
k
knk
kkk 11
122
1
2122
1
−+
+
++
−
−=
+
−+
, (6.8)
где
( ) ( )
n
q
qPqP
2
1,1
10
−==
.
Из формул (6.8) можно получить, что
( )
( )
1
6
1
6
1
2
2
−
−
−
−=
nn
q
n
q
qP
;
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
21
20
21
30
21
4612
1
322
3
−−
−
−−
+
−−
+−
−=
nnn
q
nn
q
q
nnn
nn
qP
.
На отрезке
[
]
1,1−
может быть построена система ортогональных
полиномов, называемых многочленами Лежандра, для которых спра-
ведлива рекуррентная формула:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0121
11
=++−+
−+
qkPqqPkqPk
kkk
, (6.9)
где
( ) ( )
(
)
1
2
,,1
0
0
10
−
−
−
===
xx
xx
qqqPqP
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
