ВУЗ:
Составители:
67
7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если функция
(
)
xf
непрерывна на отрезке
[
]
ba,
и известна её
производная
(
)
xF
, то определённый интеграл от этой функции в пре-
делах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница
( ) ( ) ( )
∫
−=
b
a
aFbFdxxf
, (7.1)
где
(
)
(
)
xfxF =
′
.
Однако во многих случаях функция
(
)
xF
не может быть найдена
с помощью элементарных средств или является слишком сложной.
Кроме того, на практике подынтегральная функции
(
)
xf
часто задаёт-
ся таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Таким
образом, вычисление определённого интеграла по формуле (7.1) зачас-
тую бывает затруднительным или даже невозможным.
В этой ситуации важное значение приобретают приближённые и в
первую очередь численные методы вычисления определённых инте-
гралов. Задача численного интегрирования функции заключается в
вычислении значения определённого интеграла на основании ряда
значений подынтегральной функции. Численное вычисление одно-
кратного интеграла называется механической квадратурой, а соответ-
ствующие формулы – квадратурными.
Обычный приём механической квадратуры состоит в том, что
данную функцию
(
)
xf
на рассматриваемом отрезке
[
]
ba,
заменяют
интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида
(например, полиномом). Однако может случиться, что подынтеграль-
ная функция исходного интеграла
(
)
xf
плохо приближается много-
членами. В этом случае её заменяют следующим произведением:
(
)
(
)
(
)
xxPxf ϕ=
, где
(
)
0>xP
– некоторая функция простого вида, хо-
рошо приближаемая многочленами (весовая функция), и
(
)
xϕ
– доста-
точно гладкая функция. Тогда задача численного интегрирования за-
ключается в вычислении интеграла
( ) ( ) ( )
dxxxPdxxf
b
a
b
a
∫ ∫
ϕ=
. (7.2)
Квадратурные формулы для вычисления интеграла (7.2) получим
путём замены
(
)
xϕ
интерполяционным многочленом п-й степени на
всём отрезке
[
]
ba,
(такие формулы называются квадратурными фор-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
