ВУЗ:
Составители:
69
Для коэффициентов Котеса справедливы следующие соотношения:
∑
=
=
n
i
i
H
0
1
;
ini
HH
−
=
.
Рассмотрим некоторые из формул Ньютона–Котеса, использую-
щие интерполяционные многочлены невысоких степеней. При этом
будем полагать, что функция
(
)
xf
в формуле (7.2) является достаточ-
но гладкой функцией, т.е. можно положить, что
(
)
(
)
xxf ϕ≡
. Тогда
весовую функцию можно принять:
1)( ≡xp
.
7.1. ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Вычислим интеграл
( )
∫
b
a
dxxf
, используя для этого квадратурную
формулу Ньютона–Котеса степени n = 0. Тогда согласно (7.6)
1
0
=H
и, используя (7.7), получим
( ) ( ) ( )
Rafabdxxf
b
a
+−=
∫
. (7.8)
При построении формулы (7.8) исходим из предположения, что
функция
(
)
const=xf
на отрезке
[
]
ba,
. Однако на практике, когда отре-
зок
[
]
ba,
достаточно велик, а подынтегральная функция
(
)
xf
не явля-
ется постоянной на
[
]
ba,
, интерполирование её полиномом нулевой
степени сразу на всём отрезке может привести к большим вычислитель-
ным погрешностям. В такой ситуации поступают следующим образом.
Интервал интегрирования
[
]
ba,
разбивают на m элементарных участков
равноотстоящими точками:
ihax
i
+=
;
mi ,0=
;
m
ab
h
−
=
и применя-
ют формулу (7.8) к каждому из элементарных отрезков
[
]
1
,
+
ii
xx
,
1,0
−= mi
. В итоге получается следующая составная формула:
( ) ( )
Rxfhdxxf
m
i
i
b
a
+=
∑
∫
−
=
1
0
. (7.9)
Формула (7.9) носит название формулы левых прямоугольников.
Аналогично можно получить формулу правых прямоугольников
( ) ( )
Rxfhdxxf
b
a
m
i
i
+=
∫
∑
=1
(7.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
