Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

72
Интерполируя функцию
(
)
xf
на интервале
[
]
ba,
полиномом
второй степени необходимы три точки, делящие отрезок
[
]
ba,
на два
участка, т.е.
hab 2=−
. Тогда формула (7.14) перепишется в виде
( ) ( ) ( ) ( )( )
Rxfxfxf
h
dxxf
b
a
b
a
+++=
∫∫
210
4
3
. (7.15)
Для вывода общей формулы Симпсона прибегнем к тому же спо-
собу, что и в двух предыдущих случаях.
Пусть m = 2k есть чётное число, и
(
)
i
xf
есть значения подынте-
гральной функции
(
)
xf
для равноотстоящих точек
bxxxxa
m
== ...,,,,
210
с шагом
k
ab
m
ab
h
2
−
=
−
=
.
Применяя формулу (7.15) к каждому удвоенному промежутку
[
]
20
, xx
,
[
]
42
, xx
, …,
[
]
kk
xx
222
,
−
длиной 2h, будем иметь:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )(
∫
++++++=
−
b
a
kk
xfxfxfxfxf
h
dxxf
123120
...4
3
(
)
(
)
(
)
(
)
)
Rxfxfxf
k
+++++
−
2242
...2
. (7.16)
Формула (7.16) для вычисления определённого интеграла называ-
ется формулой Симпсона или формулой парабол.
Второе название этой формулы связано с тем, что на каждом из
элементарных отрезков длиной 2h осуществляется замена подынте-
гральной функции параболой (полиномом второй степени).
Остаточный член в формуле Симпсона вычисляется по формуле
( )
,
180
)(
)IV(
4
ξ
−
= f
abh
R
где ξ ∈
[
]
ba,
.
7.4. ПРАВИЛО ТРЁХ ВОСЬМЫХ
Интерполируя подынтегральную функцию полиномом третьей
степени (n = 3), можно получить соответствующую квадратурную
формулу:
(
)
( )( )( )
8
1
18
2
99
54
4
81
18
1
321
0)!3(3!0
1
3
0
03
0
=
−+−−=−−−
−
−
=
∫
−
dqqqqH
;
(
)
( )( )
8
3
27
3
135
4
81
6
1
32
)!31(3!1
1
3
0
13
1
=
+−=−−
−
−
=
∫
−
dqqqqH
;

Страницы