Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

74
7.5. ВЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Эта задача заключается в выборе такого значения шага h, разби-
вающего интервал интегрирования
[
]
ba,
, который обеспечивал бы
заданную точность ε вычисления определённого интеграла по выбран-
ной формуле численного интегрирования.
Один способ решения этой задачи заключается в выборе шага по
оценке остаточного члена.
Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя
формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким,
чтобы выполнялось неравенство
2ε<R
. Затем вычисляют интеграл
по приближённой формуле с полученным шагом. При этом вычисле-
ния следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность
округления не превышала ε
/
2.
Однако отыскание производной подынтегральной функции не-
редко приводит к слишком громоздким вычислениям. Поэтому на
практике часто используют другой способ – двойной пересчёт. Для
этого вычисляют интеграл по выбранной квадратурной формуле дваж-
ды: сначала с некоторым шагом h = h
0
, затем с шагом h = h
0
/
2, т.е. уд-
ваивая число m.
Обозначив результаты вычислений через I
m
и I
2m
соответственно,
сравнивают их. Если
ε<−
mm
II
2
, где ε – допустимая погрешность, то
полагают
m
II
2
≈
∗
. Если же окажется, что
ε≥−
mm
II
2
, то расчёт по-
вторяют с шагом
4
0
hh
=
.
7.6. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА
При выводе рассмотренных выше формул узлы интерполяции в
квадратурных формулах задавались заранее. При этом, используя в
квадратурной формуле n
+ 1 узел интерполяции, получали формулу,
точную для алгебраических многочленов степени n. Однако оказыва-
ется, что за счёт выбора узлов можно получить квадратурные форму-
лы, которые будут точными и для многочленов степени выше n. Такие
квадратурные формулы называются квадратурными формулами наи-
высшей алгебраической степени точности или формулами Гаусса.
Рассмотрим функцию
)(tfy
=
, заданную на стандартном проме-
жутке
[
]
1;1
−
. Поставим задачу: подобрать такие точки t
1
, t
2
, …, t
n
и
коэффициенты A
1
, A
2
, …, A
n
, чтобы квадратурная формула
( ) ( )
ni
n
i
i
RtfAdttf +=
∑
∫
=
−
1
1
1
(7.19)
была точной для всех полиномов
(
)
tf
наивысшей возможной степени N.

Страницы