ВУЗ:
Составители:
73
(
)
( )( )
8
3
2
27
3
108
4
81
6
1
31
2)!3(3!2
1
3
0
23
2
=
+−−=−−
−
−
=
∫
−
dqqqqH
;
(
)
( )( )
8
1
927
4
81
18
1
21
3)!3(3!3
1
3
0
33
3
=
+−=−−
−
−
=
∫
−
dqqqqH
.
Тогда интеграл можно определить как
(
)
( ) ( ) ( ) ( )( )
Rxfxfxfxf
ab
dxxf
b
a
++++
−
=
∫
3210
33
8
)(
.
С учётом того, что
(
)
hab 3=−
для полиномов третьей степени, то
( ) ( ) ( ) ( )( )
Rxfxfxfxf
h
dxxf
b
a
++++=
∫
3210
33
8
3
)(
. (7.17)
Для вывода общей формулы разобьём интервал интегрирования
на элементарные отрезки системой из m = 3k равноотстоящих точек:
ihax
i
+=
; mi ,0= ;
k
ab
m
ab
h
3
−
=
−
=
.
Применяя формулу (7.17) к каждому интервалу длиной 3h:
[
]
[
]
[
]
kk
xxxxxx
3336330
,...,,,,,
−
, получим:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ))
....3
...2
8
3
)(
13235421
336330
Rxfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxf
h
dxxf
kk
kk
b
a
++++++++
++++++=
−−
−
∫
(7.18)
Формула (7.18) называется формулой Ньютона или правилом
трёх восьмых.
Остаточный член в этой формуле имеет вид
( )
,
80
)(
)IV(
4
ξ
−
= f
hab
R
где ξ ∈
[
]
ba,
.
Приведённые выше квадратурные формулы Ньютона–Котеса яв-
ляются наиболее часто используемыми. Дальнейшее увеличение по-
рядка квадратурной формулы повышает сложность вычислений, хотя и
даёт более точный результат.
Формулы Ньютона–Котеса высоких порядков n
≥
10 на практике
используются крайне редко. Это связано с их численной неустойчиво-
стью, возникающей из-за того, что коэффициенты Котеса при больших n
имеют различные знаки, и приводящей к резкому возрастанию вычис-
лительной погрешности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
