ВУЗ:
Составители:
79
8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, со-
держащие одну или несколько производных. В зависимости от числа
независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них про-
изводных дифференциальные уравнения делятся на две существенно
различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую
переменную и производные по ней, и уравнения в частных производ-
ных, содержащие несколько независимых переменных и производные
по ним, которые называются частными.
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение необ-
ходимо знать значения независимой переменной и(или) её производ-
ных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти до-
полнительные условия задаются при одном значении независимой пе-
ременной, то такая задача называется задачей Коши, а дополнительные
условия – начальными условиями. Если же условия задаются при двух
или более значениях независимой переменой, то задача называется
краевой, а дополнительные условия – граничными.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка
(
)
yxfy ,=
′
, (8.1)
заданное при начальном условии
(
)
00
yxy =
. (8.2)
Задача Коши для этого уравнения заключается в нахождении
функции y(x), удовлетворяющей уравнению (8.1) и начальному усло-
вию (8.2). Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя
сначала значение производной, а затем задавая малое приращение x,
переходят к новой точке
hxx +=
01
. Положение новой точки опреде-
ляется по наклону кривой, вычисленному с помощью дифференциаль-
ного уравнения. Таким образом, график численного решения пред-
ставляет собой последовательность коротких прямолинейных отрез-
ков, которыми аппроксимируется истинная кривая y = y(x). Сам чис-
ленный метод определяет порядок действий при переходе от одной
точки кривой к следующей.
Среди множества методов численного решения задачи Коши
можно выделить следующие две большие группы:
1. Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей
точки на кривой y = y(x) требуется информация лишь об одном преды-
дущем шаге. К этим методам относятся методы Эйлера, Рунге–Кутта.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
