ВУЗ:
Составители:
81
8.2. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛЕРА
Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в ис-
ходной точке известен и равен
(
)
0
xy
′
, он изменяется одновременно с
изменениями независимой переменной. Поэтому в точке x
0
+ h наклон
касательной уже не таков, каким он был в точке x
0
. Следовательно, при
сохранении начального наклона касательной на всём интервале h в ре-
зультаты вычислений вносится погрешность. Точность метода Эйлера
можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной.
Это улучшение достигается в модифицированных методах Эйлера, яв-
ляющихся по сути методами Рунге–Кутта 2-го порядка точности.
Первая модификация метода Эйлера для решения задачи (8.1),
(8.2) состоит в том, что сначала вычисляют
2
21
h
xx
kk
+=
+
,
( )
kkkk
yxf
h
yу ,
2
21
+=
+
, (8.4)
а затем полагают:
(
)
21211
,
+++
+=
kkkk
yxhfyy
. (8.5)
По второму модифицированному методу Эйлера (методу Эйле-
ра–Коши) сначала определяется «грубое» приближение значения
функции в следующей точке по методу Эйлера:
(
)
kkkk
yxhfyy ,
~
1
+=
+
, (8.6)
а затем находят более точное значение
1+k
y
по формуле
( ) ( )
[ ]
111
~
,,
2
+++
++=
kkkkkk
yxfyxf
h
yy
. (8.7)
Ошибка при использовании этих методов на каждом шаге имеет
порядок h
3
.
8.3. МЕТОДЫ РУНГЕ–КУТТА
Вторую модификацию метода Эйлера можно получить, если со-
хранить в ряде Тейлора член с h
2
, аппроксимировав при этом вторую
производную при этом члене конечной разностью
( )
(
)
(
)
h
xyhxy
x
y
xy
00
0
′
−+
′
=
∆
′
∆
=
′′
.
В общем случае, чтобы удержать в ряде Тейлора член п-го поряд-
ка, необходимо вычислить n-ю производную зависимой переменной.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
