ВУЗ:
Составители:
80
2. Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для
отыскания следующей точки кривой y = y(x) требуется информация
более чем об одной из предыдущих точек. К числу таких методов от-
носятся методы Адамса, Милна, Хемминга.
8.1. МЕТОД ЭЙЛЕРА
Пусть дано дифференциальное уравнение (8.1), где
dxdyy =
′
при начальном условии (8.2). Разложим y(x) в ряд Тейлора в окрестно-
сти точки x
0
:
( ) ( ) ( ) ( )
...
!2
1
0
2
000
+
′′
+
′
+=+ xyhxyhxyhxy
.
Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких
степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно
пренебречь. Тогда
(
)
(
)
(
)
000
xyhxyhxy
′
+=+
,
где
(
)
(
)
(
)
000
, xyxfxy =
′
находится из дифференциального уравнения
(8.1) при подстановке в него начального условия. Таким образом,
можно получить приближённое значение зависимой переменной при
малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продол-
жить, используя соотношение:
(
)
...,2,1,0,,
1
=+=
+
kyxhfyy
kkkk
(8.3)
и делая сколько угодно много шагов.
Ошибка метода Эйлера (рис. 8.1) имеет порядок h
2
, так как члены,
содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются, а
сам метод является методом первого порядка и иногда называется ме-
тодом Рунге–Кутта первого порядка.
X
Y
)( xy
),(
0
0
yxf
наклон
ошибка
0
x
1
y
1
x
0
y
h
0
Рис. 8.1. Графическая иллюстрация метода Эйлера
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
