ВУЗ:
Составители:
87
При выборе величины шага стремятся, чтобы локальная ошибка
на шаге, определяемая в общем случае выражением
1+n
Ch
(где C –
некоторая постоянная, h – шаг, n – порядок точности метода), была
меньше некоторой заданной допустимой величины.
При использовании метода прогноза и коррекции для оценки ло-
кальной погрешности (значение постоянной C) существуют явные вы-
ражения. Кроме того, погрешность аппроксимации истинной кривой
(
)
xy
может быть значительно уменьшена за счёт использования итера-
ционной процедуры расчёта на стадии коррекции.
При использовании одношаговых методов оценить локальную
погрешность в явной форме, а, следовательно, определить погреш-
ность аппроксимации (точность метода) в явной форме не удаётся.
В этом случае для повышения точности одношагового метода приме-
няют следующий подход, основанный на экстраполяции Ричардсона.
Пусть
(
)
h
k
y
1+
– значение искомой функции в точке
1+k
x
, найденное
при величине шага
0
hh =
. Уменьшим шаг h вдвое, т.е.
2
0
h
h =
и вы-
числим значение функции в точке
2
2
00
1
hh
xx
kk
++=
+
, сделав для этого
два шага
2
0
h
. Полученное значение искомой функции обозначим через
(
)
2
1
h
k
y
+
. Тогда если выполняется неравенство
(
)
(
)
ε≤
+
−
++
12
2
11
n
h
k
h
k
yy
, (8.21)
где ε – требуемая точность на шаге, n – порядок одношагового метода,
то шаг h = h
0
можно считать приемлемым для решения дифференци-
ального уравнения с заданной точностью ε, а
(
)
h
k
y
1+
можно считать ре-
шением в точке
1+k
x
. В противном случае шаг
2
0
h
h =
необходимо
уменьшить в два раза и все вычисления повторить, исходя из узла
k
x
.
Для получения решения в следующей точке
2+k
x
необходимо
проделать аналогичные вычисления, исходя из узла
1+k
x
. При этом
начальный шаг рекомендуется выбирать по шагу h, с которым было
получено решение в узле
1+k
x
.
Формула (8.21) называется формулой Рунге, а процедура её ис-
пользования часто включается в вычислительный алгоритм для авто-
матического изменения шага в процессе вычислений, хотя объём вы-
числений при этом увеличивается более чем в два раза.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
