Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

90
9. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть дано дифференциальное уравнение 2-го порядка
(
)
0,,, =
′
′
′
yyyxF
. (9.1)
Двухточечная краевая задача для уравнения (9.1) ставится сле-
дующим образом: необходимо найти функцию
(
)
xyy =
, которая внут-
ри отрезка
[
]
ba,
удовлетворяет уравнению (9.1), а на концах отрезка –
краевым условиям
(
)
(
)
[
]
( ) ( )
[ ]
=
′
ϕ
=
′
ϕ
.0,
;0,
2
1
byby
ayay
(9.2)
Рассмотрим частый случай, когда уравнение (9.1) и граничные
условия (9.2) линейны. Такая краевая задача называется линейной
краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и крае-
вые условия записываются так:
(
)
(
)
(
)
xfyxqyxpy =+
′
+
′
′
; (9.3)
(
)
(
)
( ) ( )
=
′
β+β
=
′
α+α
,
;
10
10
Bbyby
Aayay
(9.4)
где
(
)
xp
,
(
)
xq
,
(
)
xf
– известные непрерывные на отрезке
[
]
ba,
функ-
ции;
BA,,,,,
1010
ββαα
– заданные постоянные, причём
0
10
≠α+α
и
0
10
≠β+β
.
Краевые условия (9.4) в общем случае задают линейную связь
между значением искомого решения и его производной на концах от-
резка
[
]
ba
,
в отдельности. В частном случае, если
1
0
=α
и
0
1
=α
или
1
0
=β
и
0
1
=β
, то на соответствующем конце отрезка задано значение
искомого решения. Такое краевое условие называется условием перво-
го рода. Если
0
0
=α
и
1
1
=α
или
0
0
=β
и
1
1
=β
, то на конце отрезка
задано значение производной решения. Это краевое условие называет-
ся условием второго рода. В общем случае, когда
0≠α
j
и
0≠β
j
крае-
вые условия называются условиями третьего рода. Если А = В = 0, то
краевые условия называются однородными.
В отличие от имеющей всегда единственное решение задачи Ко-
ши, краевая задача (9.3), (9.4) может иметь или одно решение, или бес-
конечное множество решений, или, наконец, может совсем не иметь
решений.

Страницы