Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

92
Система (9.9) представляет собой систему (n + 1) линейных алгеб-
раических уравнений с (n + 1) неизвестными
(
)
niy
i
,0, =
. Для её реше-
ния может быть использован любой из методов решения подобных сис-
тем. Однако при большом n непосредственное решение системы (9.9)
становится громоздким. В этом случае достаточно эффективным являет-
ся метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравне-
ний трёхдиагонального вида. Суть этого метода заключается в следую-
щем. Первые (n – 1) уравнений системы (9.9) приводятся к виду
(
)
2...,,2,1,0,
21
−=−=
++
niydcy
iiii
, (9.10)
где числа с
i
и d
i
последовательно вычисляются по формулам:
при i = 0:
( )
10010
01
0
α+α−α
α−α
=
khm
h
с
,
2
0
01
0
0
hf
h
Ahk
d +
α−α
=
; (9.11)
при
2,1 −= ni
:
1
1
−
−
=
iii
i
ckm
с
,
11
2
−−
−=
iiiii
dckhfd
. (9.12)
Здесь
2−=
ii
hpm
,
iii
qhhpk
2
1 +−=
,
2,0 −= ni
. (9.13)
Вычисления производятся в следующем порядке:
Прямой ход. Сначала по формулам (9.13) вычисляются значения
m
i
, k
i
, а затем по формулам (9.11) с
0
, d
0
и, применяя последовательно
рекуррентные формулы (9.12), получают значения с
i
, d
i
при
2,1 −= ni
.
Обратный ход. Из уравнения (9.10) при i = n – 2 и последнего
уравнения системы (9.9) можно получить выражение для вычисления y
n
:
( )
hc
Bhdc
y
n
nn
n
021
221
1 β++β
+β
=
−
−−
. (9.14)
Используя уже известные числа
22
,
−− nn
dc
,
находим y
n
. Затем
вычисляются значения y
i
(i = n – 1, …, 1), последовательно применяя
рекуррентные формулы (9.10). Значение y
0
находится из предпослед-
него уравнения системы (9.9):
h
Ahy
y
01
11
0
α−α
−α
=
. (9.15)
Таким образом, все вычисления как бы «прогоняются» два раза.
Вычисления прямого хода определяют вспомогательные числа с
i
, d
i
в
порядке возрастания индекса i. При этом для вычисления значений с
0
,
d
0
используется краевое условие на левом конце отрезка интегрирова-
ния. Затем на первом шаге обратного хода происходит согласование
полученных чисел
22
,
−− nn
dc
с краевым условием на правом конце
отрезка интегрирования, после чего последовательно получаются зна-
чения искомой функции y
i
в порядке убывания индекса i.

Страницы