ВУЗ:
Составители:
91
Для того чтобы существовало единственное решение неоднород-
ной краевой задачи (9.3), (9.4), необходимо и достаточно, чтобы одно-
родная краевая задача
(
)
(
)
0=+
′
+
′
′
yxqyxpy
; (9.5)
(
)
(
)
( ) ( )
=
′
β+β
=
′
α+α
0
;0
10
10
byby
ayay
(9.6)
имела только тривиальное решение
(
)
0≡xy
.
Одним из наиболее часто используемых методов приближённого
решения линейных краевых задач являются разностные методы.
9.1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Разобьём отрезок
[
]
ba,
, на котором ищется решение дифферен-
циального уравнения (9.3) системой равноотстоящих точек с некото-
рым шагом
n
ab
h
−
=
:
,
0
ax =
,bx
n
=
ihxx
i
+=
0
(i = 1, 2, …, n – 1).
Обозначим значения функций
(
)
xp
,
(
)
xq
,
(
)
xf
в узлах x
i
через
(
)
ii
xpp =
,
(
)
ii
xqq =
,
(
)
ii
xff =
, а получаемые в результате расчёта
приближённые значения искомой функции
(
)
xy
и её производных
(
)
xy
′
,
(
)
xy
′
′
в точках x
i
через
iii
yyy
′
′
′
,,
соответственно.
Заменим приближённо в каждом внутреннем узле производные
(
)
i
xy
′
,
(
)
i
xy
′
′
конечно-разностными отношениями:
h
yy
y
ii
i
−
=
′
+1
,
2
12
2
h
yyy
y
iii
i
+−
=
′′
++
, (9.7)
а на концах отрезка
[
]
ba,
положим
h
yy
y
01
0
−
=
′
,
h
yy
y
nn
n
1−
−
=
′
. (9.8)
Используя формулы (9.7), (9.8), приближённо заменим уравнение
(9.3) и краевые условия (9.4) системой уравнений
=
−
β+β=
−
α+α
−=
=+
−
+
+−
−
+++
.,
2; , ...2,1,0,
,
2
1
10
01
100
1
2
12
B
h
yy
yA
h
yy
y
ni
fyq
h
yy
p
h
yyy
nn
n
iii
ii
i
iii
(9.9)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
