ВУЗ:
Составители:
95
10. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Дифференциальные уравнения в частных производных классифи-
цируются либо в зависимости от из математической природы – эллип-
тические, параболические, гиперболические, либо в зависимости от
физического смысла решаемых задач – уравнение диффузии, волновое
уравнение и т.п.
С математической точки зрения дифференциальные уравнения
2-го порядка в частных производных с двумя независимыми перемен-
ными
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
0,,,,,
,
,
,
,
,
,
2
22
2
2
=
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
f
x
f
yxfyxE
y
yxf
yxC
yx
yxf
yxB
x
yxf
yxA
(10.1)
классифицируются в зависимости от характера функций А, В и С, зави-
сящих от переменных x и y. Если
04
2
<− ACB
, уравнение называется
эллиптическим, если
04
2
=− ACB
– параболическим, а если
04
2
>− ACB
– гиперболическим. Зависимость функций А, В и С от x и
y усложняет ситуацию, так как делает возможным изменение типа урав-
нения при переходе из одной части рассматриваемой области в другую.
Дополнительными условиями для дифференциальных уравнений
2-го порядка в частных производных могут служить граничные или
начальные условия, а также их комбинации. Эллиптические уравнения
описывают установившиеся (стационарные) процессы; задача ставится
в замкнутой области, и в каждой точке границы этой области задаются
граничные условия. Параболическими и гиперболическими уравне-
ниями описываются эволюционные процессы (процессы «распростра-
нения»). В таких задачах на одной части границы ставятся граничные
условия, на другой – начальные; возможны также открытые области, в
которые «распространяется решение».
В инженерной практике чаще всего приходится иметь дело со
следующими уравнениями в частных производных:
1. Уравнение Лапласа (установившееся течение жидкости, ста-
ционарные тепловые поля)
0
=
∆
f
.
2. Уравнение Пуассона (теплопередача с внутренними источни-
ками тепла)
(
)
yxf ,ϕ=∆
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
