ВУЗ:
Составители:
98
Точки пересечения этих сеток называются узлами. Два узла назы-
ваются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси
0x или 0y на расстояние, равное шагу сетки h
x
или h
y
соответственно.
Все узлы, принадлежащие заданной области G, можно разделить на
внутренние, и внешние и граничные.
Значение искомой функции
(
)
yxff ,=
в узлах сетки будем обо-
значать
(
)
yxij
jhyihxff ++=
00
,
. Используя разложения в ряд Тейло-
ра, в каждом внутреннем узле
(
)
yx
jhyihx ++
00
,
частные производные
могут быть замены конечно-разностными отношениями:
x
jiji
ij
h
ff
x
f
2
,1,1 −+
−
≈
∂
∂
,
y
jiji
ij
h
ff
y
f
2
1,1, −+
−
≈
∂
∂
. (10.2)
В граничном узле приходится пользоваться менее точными фор-
мулами вида:
x
ijji
ij
ff
x
f
∆
−
≈
∂
∂
+ ,1
~
;
y
ijji
ij
ff
x
f
∆
−
≈
∂
∂
+1,
~
, (10.3)
где
f
~
– значение функции на границе области G, ∆
x
, ∆
y
– расстояния
от узла i, j до границы.
Аналогично могут быть заменены частные производные 2-го по-
рядка:
2
,1,1
2
2
2
x
jiijji
ij
h
fff
x
f
−+
+−
≈
∂
∂
;
2
1,1,
2
2
2
y
jiijji
ij
h
fff
y
f
−+
+−
≈
∂
∂
(10.4)
yx
jijijiji
ij
hh
ffff
dxdy
f
4
1,11,11,11,1
2
−−−++−++
+−−
≈
∂
. (10.5)
Вычислительные шаблоны (10.2) – (10.5) имеют погрешность по-
рядка h
2
. Для построения более точных вычислительных шаблонов
необходимо в формулах вводить в рассмотрение новые узлы.
Вторые частные производные для узлов, лежащих на границе об-
ласти, можно записать в виде (рис. 10.4):
( )( )
xx
x
jiij
x
ijji
ij
h
h
ffff
x
f
+∆
+
−
∆
−
≈
∂
∂
−+
5,0
~
,1,1
2
2
; (10.6)
( )( )
yy
y
jiij
y
ijji
ij
h
h
ffff
y
f
+∆
+
−
∆
−
≈
∂
∂
−+
5,0
~
1,1,
2
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
