Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

µ(Ω) < ∞
Ω A ∈ F B ∈ F
µ(A) = µ(B) A
B
(Ω, F,
P
(·))
P
(A) =
µ
(
A
)
µ(Ω)
, A ∈ F.
µ
P
(A) = 0 A
Ω
A
Ω µ
µ(A) = 0
P
(A) = 0
A
B
P
(A|B) =
P
(A ∩ B)
P
(B)
.
A B
P
(B) 6= 0
P
(A ∩
B) =
P
(A|B)
P
(B)
A B C
P
(B) 6= 0
P
(C) 6= 0
P
(A ∩ B ∩ C) =
P
(A|B ∩ C)
P
(B|C)
P
(C)
Ω
B
P
(Ω|B) =
1.
A J
(H
j
)
j∈J
P
(H
j
) 6= 0 j ∈ J H
j
∩ H
i
= ∅ i 6= j A ⊂
S
j∈J
H
j
P
(A) =
X
j∈J
P
(A|H
j
)
P
(H
j
).
P
(A) 6= 0
P
(H
k
|A) =
P
(A|H
k
)
P
(H
k
)
P
j∈J
P
(A|H
j
)
P
(H
j
)
, k ∈ J.
    2) µ(Ω) < ∞ .
    Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â áðîñàíèè "íàóäà÷ó" òî÷êè â ïðî-
ñòðàíñòâî Ω . Òåðìèí "íàóäà÷ó" çäåñü ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè A ∈ F , B ∈ F
è µ(A) = µ(B) , òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ òî÷êè âî ìíîæåñòâî A è âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ
òî÷êè âî ìíîæåñòâî B ñîâïàäàþò.
    Âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
(Ω, F, P(·)) , ãäå
                                        µ(A)
                                P(A) =       ,   A ∈ F.                            (1)
                                        µ(Ω)
Åñëè â êà÷åñòâå µ ìîæåò âûñòóïàåò äëèíà êðèâîé, ïëîùàäü îáëàñòè, îáúåì òåëà, ðàäèàí-
íàÿ ìåðà óãëà è äð., òî âåðîÿòíîñòü (1) ïðèíÿòî íàçûâàòü ãåîìåòðè÷åñêîé.
Çàìå÷àíèå 6. Ïðè ïðèìåíåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà
P(A) = 0 , íî ñîáûòèå A íå ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíûì. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷å-
ñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â áðîñàíèè "íàóäà÷ó" òî÷êè â ïëîñêóþ îáëàñòü Ω , â êà÷åñòâå
íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ A ðàññìîòðèì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â ïîïàäàíèè òî÷êè íà íåêîòî-
ðûé îòðåçîê, ëåæàùèé â îáëàñòè Ω . Â äàííîì ýêñïåðèìåíòå ìåðà µ åñòü ïëîùàäü îáëàñòè,
ïîýòîìó µ(A) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, P(A) = 0 .

2.1.8 Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Íåçàâèñèìîñòü
Îïðåäåëåíèå 2.1.13. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A îòíîñèòåëüíî ñëó-
÷àéíîãî ñîáûòèÿ B , èìåþùåãî íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü, íàçûâàåòñÿ
                                       P(A ∩ B)
                                 P(A|B) =       .
                                         P(B)
   Êàê íåïîñðåäñòâåííûå ñëåäñòâèÿ îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè èìåþò ìåñòî
óòâåðæäåíèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 2.1.2. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé A è B ( P(B) 6= 0 ) âûïîëíåíî P(A ∩
B) = P(A|B) P(B) .
Ïðåäëîæåíèå 2.1.3. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé A , B è C ( P(B) 6= 0 , P(C) 6= 0 )
âûïîëíåíî P(A ∩ B ∩ C) = P(A|B ∩ C) P(B|C) P(C) .
Ïðåäëîæåíèå 2.1.4. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ Ω îòíîñèòåëüíî ñëó-
÷àéíîãî ñîáûòèÿ B , èìåþùåãî íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü, ðàâíà åäèíèöå, òî åñòü P(Ω|B) =
1.
Òåîðåìà 2.1.4. (Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.) Ïóñòü A  ñëó÷àéíîå ñîáûòèå; J 
êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî; (Hj )j∈J  ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, óäîâëåòâîðÿ-
                                                                              S
þùåå óñëîâèÿì: P(Hj ) 6= 0 äëÿ êàæäîãî j ∈ J , Hj ∩ Hi = ∅ ïðè i 6= j , A ⊂      Hj .
                                                                                j∈J
Òîãäà                                  X
                              P(A) =         P(A|Hj ) P(Hj ).
                                       j∈J

Òåîðåìà 2.1.5. (Ôîðìóëà Áàéåñà.) Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé òåîðåìû è
P(A) 6= 0 . Òîãäà
                                    P(A|Hk ) P(Hk )
                        P(Hk |A) = P                 ,          k ∈ J.
                                     P(A|Hj ) P(Hj )
                                    j∈J



                                             10

Страницы