Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

(Ω, F,
P
)
ξ(·) : Ω 7→ R
{ξ 6 x} ∈ F x ∈ R
X R ξ
P
{ξ ∈ X} = 1 ξ ξ
p
ξ
(x) ,
P
{ξ = x}, x ∈ X,
ξ
X R
(p(x))
x∈X
(p(x))
x∈X
p(x) > 0 ∀x ∈ X
P
x∈X
p(x) = 1
ξ
x
i
x
1
x
2
. . . x
n
. . .
p
i
p
1
p
2
. . . p
n
. . .
x
i
ξ p
i
p
i
=
P
{ξ = x
i
}
H
n A
A
A
p p =
P
(A)
A
c
q =
P
(A
c
) = 1 − p
ξ n ξ
X = {0, 1, 2, . . . , n}
2.2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
2.2.1 Îïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è åå
      ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü (Ω, F, P)  íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ôóíêöèÿ ξ(·) : Ω 7→ R íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè
{ξ 6 x} ∈ F äëÿ ëþáîãî x ∈ R .
Îïðåäåëåíèå 2.2.2. Åñëè X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R , ξ  ñëó÷àé-
íàÿ âåëè÷èíà è P{ξ ∈ X} = 1 (ò.å. ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ξ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî), òî ξ
íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, à íàáîð âåðîÿòíîñòåé

                              pξ (x) , P{ξ = x},         x ∈ X,

íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ξ .

Òåîðåìà 2.2.1. Ïóñòü X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R . Íàáîð âåùåñòâåííûõ
÷èñåë (p(x))x∈X ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òî-
ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (p(x))x∈X óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) p(x)
   P > 0 ∀x ∈ X ;
2)     p(x) = 1 .
  x∈X

   Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÷àñòî çàäàþò â âèäå òàáëèöû:

                                  xi   x1   x2    ...   xn   ...
                             ξ:                                  ,
                                  pi   p1   p2    ...   pn   ...

ãäå xi  âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , pi  ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè,
ò.å. pi = P{ξ = xi } . Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íå ÿâëÿþùåéñÿ äèñêðåòíîé,
çàäàþò àíàëèòè÷åñêè èëè ãðàôè÷åñêè.

2.2.2 Ñõåìà Áåðíóëëè ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
      Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ïðåäåëüíàÿ òåî-
      ðåìà Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
Ïóñòü H  ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî íåêîòîðîå èñïûòàíèå (íà-
ïðèìåð, ïîäáðàñûâàíèå èãðàëüíîé êîñòè) ïîâòîðÿåòñÿ n ðàç. Îáîçíà÷èì A  íåêîòî-
ðîå ñîáûòèå, êîòîðîå íàáëþäàåòñÿ â êàæäîì èñïûòàíèè. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èñïûòà-
íèå çàâåðøèëîñü óñïåõîì, åñëè ñîáûòèå A ïðîèçîøëî â ýòîì èñïûòàíèè, è çàâåðøèëîñü
íåóäà÷åé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A (âåðîÿòíîñòü
óñïåõà ) â êàæäîì èñïûòàíèè ïîñòîÿííà è ðàâíà p , òî åñòü p = P(A) , ñîîòâåòñòâåííî, âåðî-
ÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ Ac (âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è ) ðàâíà q = P(Ac ) = 1 − p .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå èñïûòàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïðè âûïîëíåíèè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèé
è ðåçóëüòàò êàæäîãî èñïûòàíèÿ íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî èñïûòàíèÿ.
   Äàííàÿ ñõåìà ïîâòîðåíèÿ èñïûòàíèÿ íîñèò íàçâàíèå ñõåìû Áåðíóëëè ñ ïîñòîÿííîé
âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà.
   Îáîçíà÷èì ξ  ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé. ßñíî, ÷òî ξ ÿâëÿåòñÿ
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé X = {0, 1, 2, . . . , n} .


                                                 12

Страницы