Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

B
n
(k) : ”ξ = k” n
k k ∈ X
B
n
(k
1
, k
2
) : ”k
1
6 ξ 6 k
2
” n
[k
1
, k
2
] k
1
, k
2
∈ X k
1
< k
2
p n
q = 1 − p k, k
1
, k
2
∈ X k
1
< k
2
P
(B
n
(k)) =
P
n
(ξ = k) = C
k
n
p
k
q
n−k
;
P
(B
n
(k
1
, k
2
)) =
P
n
(k
1
6 ξ 6 k
2
) =
k
2
X
k=k
1
C
k
n
p
k
q
n−k
.
ξ
(n, p) 0 6 p 6 1 n ∈ N
P
(ξ = k) = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
, k = 0, ..., n.
m
n
P
n
{ξ = m} = max
k∈X
P
n
{ξ = k},
p m = (n + 1)p m = (n + 1)p − 1 (n + 1)p
m = [(n + 1) p] (n + 1)p
n p np = λ λ = > 0
lim
n→∞
P
n
{ξ = k} =
λ
k
k!
e
−λ
,
k = 0, 1, ...
λ
ξ
λ > 0
P
(ξ = k) =
λ
k
k!
e
−λ
, k = 0, 1, ....
p ξ
ξ
X = {0, 1, . . . }
P
(ξ = k) = p(1 − p)
k
, k = 0, 1, ....
p 0 < p < 1
    Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ:
Bn (k) : ”ξ = k” , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé ÷èñëî óñïåõîâ
ðàâíî k , k ∈ X ;
Bn (k1 , k2 ) : ”k1 6 ξ 6 k2 ” , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé ÷èñëî
óñïåõîâ çàêëþ÷åíî â ïðîìåæóòêå [k1 , k2 ] , k1 , k2 ∈ X , k1 < k2 .

Ïðåäëîæåíèå 2.2.1. Ïóñòü p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé,
q = 1 − p , k, k1 , k2 ∈ X , k1 < k2 . Òîãäà
                                                         k k n−k
                               P(Bn (k)) = Pn (ξ = k) = Cn p q ;                        (2)
                                                                k2
                                                                X
                       P(Bn (k1 , k2 )) = Pn (k1 6 ξ 6 k2 ) =          Cnk pk q n−k .
                                                                k=k1

    Ôîðìóëà (2) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè.
Îïðåäåëåíèå 2.2.3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðà-
ìåòðàìè (n, p) , 0 6 p 6 1 , n ∈ N , åñëè
                                       k k        n−k
                           P(ξ = k) = Cn p (1 − p) ,        k = 0, ..., n.

Ïðåäëîæåíèå 2.2.2. Ïóñòü m  íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè èç
n èñïûòàíèé, òî åñòü
                                  Pn {ξ = m} = max Pn {ξ = k},
                                                 k∈X

p  âåðîÿòíîñòü óñïåõà. Òîãäà m = (n + 1)p è m = (n + 1)p − 1 , åñëè (n + 1)p  öåëîå, è
m = [(n + 1)p] , åñëè (n + 1)p  íå öåëîå ÷èñëî.

Òåîðåìà 2.2.2. (Ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà.) Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõåì Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè n è p , ïðè÷åì np = λ , ãäå λ = const > 0 . Òîãäà

                                                        λk −λ
                                     lim Pn {ξ = k} =      e ,
                                     n→∞                k!
ãäå k = 0, 1, ... .
Çàìå÷àíèå 1. Äàííóþ òåîðåìó ÷àñòî íàçûâàþò çàêîíîì ðåäêèõ ñîáûòèé, à ïàðàìåòð λ
îòîæäåñòâëÿþò ñî ñðåäíèì ÷èñëîì íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ çà åäèíèöó âðåìåíè.
Îïðåäåëåíèå 2.2.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì
λ > 0 , åñëè
                                       λk −λ
                                P(ξ = k) =e , k = 0, 1, ....
                                       k!
Çàìå÷àíèå 2. Ðàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p . Îáîçíà÷èì ξ 
÷èñëî èñïûòàíèé äî ïåðâîãî ïîÿâëåíèÿ óñïåõà.  ýòîì ñëó÷àå ξ ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñî ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé X = {0, 1, . . . } è çàêîíîì ðàñïðå-
äåëåíèÿ
                                             k
                          P(ξ = k) = p(1 − p) , k = 0, 1, ....
Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì ñ
ïàðàìåòðîì p , 0 < p < 1 .

                                                13

Страницы