Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

σ E E
σ F
E
Ω E ⊂ F
E
σ F
E F
E
⊂ F
{F
α
} σ Ω
E ∀α E ⊂ F
α
T
α
F
α
σ E
Ω = R E R
(a, b] [a, b) [a, b] (a, b) σ R
E σ B(R)
σ B(R)
σ R
n
f : R
n
7→ R
R R
n
(Ω, F,
P
) Ω F σ Ω
P
: F 7→ [0, 1]
P
(Ω) = 1
(A
n
)
n∈N
⊂ F A
i
∩ A
j
= ∅ i 6= j
P
(
∞
S
n=1
A
n
) =
∞
P
n=1
P
(A
n
).
Ω
H A ∈ F
H
P
(·)
P
(A) A ∈ F
(Ω, F,
P
)
P
(∅) = 0
A, B ∈ F A ∩ B = ∅
P
(A ∪ B) =
P
(A) +
P
(B)
A, B ∈ F
P
(A ∪ B) =
P
(A) +
P
(B) −
P
(A ∩ B)
A, B ∈ F A ⊂ B
P
(A) 6
P
(B)
P
(B \ A) =
P
(B) −
P
(A)
P
(A
c
) = 1 −
P
(A)
(A
n
)
n∈N
⊂ F
P
(
∞
S
n=1
A
n
) 6
∞
P
n=1
P
(A
n
)
(Ω, F,
P
)
A
n
∈ F A
n
⊂ A
n+1
n ∈ N lim
n→∞
P
(A
n
) =
P
(
∞
S
n=1
A
n
)
A
n
∈ F A
n
⊃ A
n+1
n ∈ N lim
n→∞
P
(A
n
) =
P
(
∞
T
n=1
A
n
)
Ω R
n
F σ
Ω µ (Ω, F) µ(·) : F 7→ R
+
(A
n
)
n∈N
⊂ F A
i
∩ A
j
= ∅ i 6= j
µ(
∞
[
n=1
A
n
) =
∞
X
n=1
µ(A
n
);
íèìàëüíîé σ -àëüãåáðîé, ñîäåðæàùåé êëàññ E (èëè ïîðîæäåííîé êëàññîì E ) íàçûâàåòñÿ
σ -àëãåáðà FE ïðîñòðàíñòâà Ω òàêàÿ, ÷òî 1) E ⊂ FE , 2) äëÿ ëþáîé σ -àëãåáðû F , ñîäåð-
æàùåé êëàññ ïîäìíîæåñòâ E âûïîëíåíî FE ⊂ F .
Ïðåäëîæåíèå 2.1.1. Ïóñòü {Fα }T ñåìåéñòâî σ -àëãåáð ïðîñòðàíñòâà Ω , ñîäåðæàùèõ
êëàññ E , òî åñòü ∀α E ⊂ Fα . Òîãäà       Fα  ìèíèìàëüíàÿ σ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ E .
                                      α
Çàìå÷àíèå 5. Åñëè Ω = R , à E  êëàññ âñåõ ïîëóèíòåðâàëîâ ÷èñëîâîé îñè R âè-
äà (a, b] (èëè [a, b) , èëè [a, b] , èëè (a, b) ), òî ìèíèìàëüíóþ σ -àëãåáðó ïðîñòðàíñòâà R ,
ïîðîæäåííóþ êëàññîì E íàçûâàþò áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðîé è îáîçíà÷àþò B(R) . Ýëåìåí-
òû áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðû B(R) íàçûâàþò áîðåëåâñêèìè ìíîæåñòâàìè íà ÷èñëîâîé îñè.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà ïðîñòðàíñòâà Rn .
Îïðåäåëåíèå 2.1.11. Ôóíêöèÿ f : Rn 7→ R íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé, åñëè
ïðîîáðàç ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà â R ÿâëÿåòñÿ áîðåëåâñêèì ìíîæåñòâîì â Rn .
Îïðåäåëåíèå 2.1.12. Âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ íàáîð òðåõ îáúåêòîâ
(Ω, F, P) , ãäå Ω  ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, F  σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω ,
P : F 7→ [0, 1]  ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (àêñèîìàì):
    1) P(Ω) = 1 ,
                                                          S
                                                          ∞        P
                                                                   ∞
    2) åñëè (An )n∈N ⊂ F è Ai ∩ Aj = ∅ äëÿ i 6= j , òî P(   An ) =   P(An ).
                                                                  n=1              n=1
   Ïðè ýòîì Ω íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (íåêîòîðîãî ñòîõà-
ñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H ), ìíîæåñòâà A ∈ F íàçûâàþòñÿ ñëó÷àéíûìè (íàáëþäàåìûìè
â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå H ) ñîáûòèÿìè, ôóíêöèÿ P(·) íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíî-
ñòüþ, èëè âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, à P(A)  âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ∈ F .
Òåîðåìà 2.1.2. Ïóñòü (Ω, F, P)  âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà:
1) P(∅) = 0 ;
2) åñëè A, B ∈ F , A ∩ B = ∅ , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ;
3) åñëè A, B ∈ F , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ;
4) åñëè A, B ∈ F , A ⊂ B , òî P(A) 6 P(B) , P(B \ A) = P(B) − P(A) , P(Ac ) = 1 − P(A) ;
                             S
                             ∞         P
                                       ∞
5) åñëè (An )n∈N ⊂ F , òî P(    An ) 6   P(An ) .
                            n=1           n=1

Òåîðåìà 2.1.3. ( Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòíîé ìåðû.) Ïóñòü (Ω, F, P)
 âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà:
                                                                      S
                                                                      ∞
1) åñëè An ∈ F , An ⊂ An+1 , n ∈ N , òî lim P(An ) = P(                   An ) ;
                                            n→∞                   n=1
                                                                   T
                                                                   ∞
2) åñëè An ∈ F , An ⊃ An+1 , n ∈ N , òî lim P(An ) = P(                   An ) .
                                            n→∞                   n=1


2.1.7 Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè
Ïóñòü Ω ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì êîíå÷íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rn , F  σ -
àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ â Ω , µ  êîíå÷íàÿ ìåðà íà (Ω, F) , ò.å. µ(·) : F 7→ R+  ôóíêöèÿ
ìíîæåñòâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:
   1) åñëè (An )n∈N ⊂ F è Ai ∩ Aj = ∅ äëÿ i 6= j , òî
                                        ∞
                                        [             ∞
                                                      X
                                   µ(       An ) =          µ(An );
                                      n=1             n=1


                                                  9

Страницы